Laudatio

Don B. Zagier

anläßlich seiner Euler-Vorlesung

Potsdam
21. Mai 1999

von
F. Hirzebruch



Im Jahre 1983 erhielt Don Zagier die CARUS-Medaille der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina und am 27. Januar 1984 den CARUS-Preis der Stadt Schweinfurt. In Schweinfurt habe ich eine Laudatio über ihn vorgetragen. Es ist für mich ein Vergnügen, Laudationes über Don Zagier zu verfassen. Ich hoffe, es ist heute nicht das letzte Mal. Die Schweinfurter Laudatio vor 15 Jahren fiel schon ganz gut aus. Deshalb werde ich zunächst einmal daraus zitieren:

Don Zagier wurde 1951 in Heidelberg als Sohn amerikanischer Eltern geboren, besuchte in fünf amerikanischen Bundesstaaten die Schule, erwarb in Kalifornien 1. Preise in Schülerwettbewerben in Chemie und Mathematik und begann als 15jähriger 1966 sein Studium am Massachussetts Institute of Technology, das er 1968 mit dem Grad eines "Bachelor of Science" in Mathematik und Physik abschloß; er ging dann als Doktorand nach Oxford und von dort 1970 nach Bonn, wo er am 1.12.1970 als studentische Hilfskraft eingestellt wurde. Er erhielt von mir ein Dissertationsthema, ich wurde offiziell von Oxford als sein Supervisor eingestellt mit einem Ehrengehalt von 10 Pfund im Semester, eine Summe, die wir immer bei einem Abendessen und mathematischen Diskussionen verbrauchten. Die Dissertation wurde im Winter 1971, also nach einjähriger Tätigkeit als Bonner Studentische Hilfskraft, in Oxford eingereicht, die Promotion erfolgte im März 1972, - er war noch 20. Nach zweijährigem Aufenthalt als Gastforscher am mathematischen Forschungsinstitut der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich und am Institut des Hautes Etudes Scientifiques in Bures-sur-Yvette bei Paris kam er 1974 nach Bonn zurück, wo er sich im Februar 1975 habilitierte, und am 16.6.1976 zum außerplanmäßigen Professor ernannt wurde, kurz vor seinem 25. Geburtstag (die Bildzeitung schrieb: der kleine Don in Bonn: mit 25 Deutschlands jüngster Professor).

Im Mai 1975 hielt er seine Bonner Antrittsvorlesung "Die ersten 50 Millionen Primzahlen" über ein Teilgebiet der Zahlentheorie, in dem er, wie er im Vortrag sagt, selbst nicht gearbeitet hat; aber aus diesem für ein allgemeines Publikum gehaltenen, mehrfach erschienenen und oft gelobten Vortrag geht besonders deutlich seine Begeisterung für die Mathematik und seine Liebe für die Zahlentheorie hervor. Ohne diese Begeisterung und diese Liebe hätte er die großen Leistungen in der Zahlentheorie, die gerade im letzten Jahr zu einem viel bewunderten Höhepunkt geführt haben, nicht erbringen können. Er brachte damals in seinen Vortrag dreimal soviel Inhalt wie man normalerweise von einer Antrittsvorlesung erwartet und war schon nach 30 Minuten fertig, obwohl er 45 Minuten Zeit hatte. Aber Sie brauchen vor seinem heutigen Vortrag keine Angst zu haben, denn mit fortschreitendem Alter sinkt die Redegeschwindigkeit, und es sind schon neun Jahre seit seiner Habilitation vergangen.

Ende des Zitats.

Inzwischen ist fast ein Vierteljahrhundert seit der Habilitation vergangen. Sie können deshalb nicht mehr damit rechnen, daß Herr Zagier vor Beendigung der offiziellen Redezeit fertig wird. In Schweinfurt sprach ich von einem vielbewunderten Höhepunkt seiner Forschungen im Jahre 1983. Worum ging es? Es waren gemeinsame Ergebnisse von B. Gross und Zagier, die 1986 in einer 105 Seiten langen Arbeit in den Inventiones erschienen:

Es sei p eine Primzahl, die bei Teilung durch 4 den Rest 3 läßt ( p = 3, 7, 11, 19, 23, 31, ...). Wir betrachten den imaginären Zahlkörper, der aus dem Körper der rationalen Zahlen durch Adjunktion der Wurzel aus -p entsteht und darin den Ring der ganzen algebraischen Zahlen. Wann gilt in diesem Ring die Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlen? Seit den 50er Jahren (Heegner) weiß man, daß diese Frage genau für die sieben Primzahlen 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 zu bejahen ist.

Für die Untersuchung dieser Zahlbereiche ist die Klassenzahl h (-p), die schon von Gauß ein-geführt wurde, wichtig. Sie hat den Wert 1 genau dann, wenn eindeutige Primzahlen-zerlegung gilt und ist sonst eine natürliche Zahl > 1, die die Kompliziertheit der Zerlegung in Primzahlen mißt. Gauß vermutete, daß die Klassenzahl h (-p) für p gegen Unendlich ebenfalls nach Unendlich geht. Dies wurde von Heilbronn und Siegel in den 30er Jahren bewiesen, führte aber nicht zu effektiven Abschätzungen. Mit Hilfe eines Resultates von Goldfeld (1976) und der Ergebnisse von Gross und Zagier kann man grundsätzlich zu jeder natürlichen Zahl k eine Schranke Nk berechnen, so daß die Klassenzahl h (-p) für p > Nk größer als k ist. Das Gaußsche Klassenzahlproblem im effektiven Sinne ist damit gelöst. Die Zeitschrift "Science" schrieb am 7. Oktober 1983 "Century-Old Math Problem Solved. An incredible indirect proof resolves an old problem and links two seemingly unrelated areas of mathematics".

Im Grunde ist das Hauptergebnis von Gross und Zagier nämlich so bedeutend, weil es einen fundamentalen Beitrag zur Birch-Swinnerton-Dyer Vermutung über elliptische Kurven, die über den rationalen Zahlen definiert sind, impliziert. Eine solche elliptische Kurve hat einen analytischen Rang (Ordnung der Nullstelle der zugeordneten L-Funktion an der Stelle 1) und einen arithmetischen Rang. Der letztere ist der Rang der abelschen Gruppe der rationalen Punkte auf der Kurve. Nach der BSD-Vermutung sind die beiden Ränge gleich. Gross und Zagier zeigen als Folgerung ihres Hauptsatzes, daß der arithmetische Rang größer oder gleich 1 ist, wenn der analytische Rang gleich 1 ist. Aus ihrem Hauptsatz folgt auch die Existenz einer bestimmten elliptischen Kurve vom analytischen Rang größer als 2, was nach Goldfeld zur Lösung des effektiven Gaußschen Klassenzahlproblems führt.

Die elliptischen Kurven gehören zu Zagiers mathematischen Lieblingsobjekten, allgemeiner die Diophantischen Gleichungen. In einer Arbeit aus dem Jahre 1995 mit F. Rodrigues Villegas behandelt er das berühmte klassische Problem "Which primes are sums of two rational cubes?" Es handelt sich also um die elliptischen Kurven x3 + y3 = p. Es wird vollständig geklärt, wann diese Kurven positiven analytischen Rang haben. Modulo der BDS-Vermutung weiß man dann genau, wann x3 + y3 = p rationale Lösungen hat.

Ein weiteres Resultat über Diophantische Gleichungen:

In einem Kurzbericht über eine unveröffentlichte Arbeit aus dem Jahre 1989 schreibt Zagier:

"It was shown that the Diophantine equation A4 + B4 + C4 = D4 has infinitely many integral solutions (the smallest found had D = 20615673), disproving a famous conjecture of Euler. This paper was not published because the same result was found at the same time by N. Elkies".

Es gibt noch viel zu erzählen. Ich bin ja kaum über den Anfang meiner Schweinfurter Laudatio hinaus gekommen. Zum äußeren Lebenslauf: Seit 1976 leitete Zagier im SFB Theoretische Mathematik an der Universität Bonn die Gruppe "Modulformen und Zahlentheorie", seit 1984 ist er Wissenschaftliches Mitglied am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn, seit 1995 einer der Direktoren, von 1995 bis 1997 war er Geschäftsführender Direktor. Es ist besonders ihm, dem ich die Leitung des Instituts übergeben hatte, zu verdanken, daß das MPI am 1. März dieses Jahres in wunderschöne, neue, und für seine Arbeit ideale Räume einziehen konnte.

Es ist für Don Zagier unmöglich, nur eine Stelle zu haben. Das Leben wäre zu einfach. So war er 1979 bis 1990 auch Chair Professor of Number Theory an der University of Maryland und entsprechend nur sechs Monate im Jahr bei uns. Erfreulicherweise hat er jetzt seine zweite Stelle in größerer Nähe. Seit 1990 ist er Professor an der Universität Utrecht und hält dort in jedem zweiten Semester eine Vorlesung, natürlich in holländischer Sprache.

Er ist ein idealer Direktor des MPI. Jeder Mathematiker des MPI (und wir haben zu jedem Zeitpunkt 60 Gastforscher) kann jederzeit zu ihm kommen und berichten, daß er (oder sie) mit einem Problem nicht weiterkommt. Er vergißt sofort seine eigene Arbeit und stürzt sich in voller Konzentration auf die ihm gestellten Fragen. Mit den meisten MPI-Gästen kann er in deren eigener Sprache reden. Von Don Zagiers mathematischer Hilfe habe ich selbst oft profitiert. Natürlich entstehen so auch gemeinsame Arbeiten. In seinem Schriftenverzeichnis zähle ich 128 Titel, davon 18 Arbeiten in gleichzeitiger Vorbereitung, und insgesamt 40 Koautoren.

Neben mathematischer Hilfe kann ich jederzeit Computer-Unterstützung von ihm bekommen. Komme ich mit einer zahlentheoretischen Vermutung und möchte die ersten Fälle getestet haben, dann programmiert er schneller, als man mit der Schreibmaschine schreiben kann, und schon sind die ersten 100 Fälle ausgedruckt.

Von einer Reise schrieb ich ihm am 19.3.1997 einen Fax-Brief mit einer Vermutung über eine Identität zwischen Dedekindschen Summen in Abhängigkeit von zwei Primzahlen und p und fragte:

Kann das Dein Computer in wenigen Minuten verifizieren? Am nächsten Tag kam die Antwort: Ich habe Deine Formel getestet und sie gilt tatsächlich (für alle < 100 und p < 200). Danach führte er aus, wie man die Formel verallgemeinern und eventuell beweisen könne. Inzwischen haben wir allgemeinere Formeln bewiesen (er zahlentheoretisch, ich topologisch; dann wird es ja wohl stimmen). Vielleicht schreiben wir nach langer Zeit wieder eine gemeinsame Arbeit. Natürlich verstehe ich von Computern gar nichts. Es geht viel einfacher und schneller, wenn man in Zagiers Zimmer geht.

Ich habe viel zu wenig über Zagiers mathematisches Werk gesagt. Wenige Beispiele sollen am Schluß noch folgen.

  1. Seine vielen Entdeckungen über Modulformen, Jacobi-Formen, Perioden von Modulformen ... .

  2. Seine Ergebnisse und Vermutungen über Polylogarithmen: Der Wert an der Stelle zwei der Dedekindschen Zetafunktion eines beliebigen Zahlkörpers hängt mit dem Volumen 3-dimensionaler hyperbolischer Manigfaltigkeiten zusammen. Das Volumen eines 3-dimensionalen hyperbolischen Simplexes kann nach Lobatschewsky durch Dilogarithmen ausgedrückt werden. Die erwähnten Zetawerte lassen sich auch durch den Dilogarithmus bestimmen. Diese Bemerkung und viele numerische Beispiele führten Zagier zu der berühmten Vermutung, daß die Werte der Dedekindschen Zetafunktion an allen positiven Stellen in konkreter Weise durch Polylogarithmen ausgedrückt werden können. Viele Arbeiten führender Mathematiker schlossen sich an.

  3. Mit J. Harer wurde gezeigt, daß die Eulersche Zahl (als Orbifold) des Modulraumes der Riemannschen Flächen vom Geschlecht g gleich dem Wert der Riemannschen Zetafunktion an der Stelle 1 - 2g ist. Hier wird eine kombinatorische Methode für das Abzählen von Graphen auf Riemannschen Flächen entwickelt, die mit der Berechnung gewisser Gauß-Integrale über den Raum der N x N Hermiteschen Matrizen bei variablen N zusammenhängt. Dies wurde unabhängig von Physikern entdeckt und ist relevant für Arbeiten von Kontsevich.

  4. Zagiers Arbeiten über die topologischen Eigenschaften der Modulräume stabiler Vektorbündel vom Range 2.

  5. Zagiers multiple Zetafunktionen in Verbindung mit Knoteninvarianten.

Zagiers Bücher sind Meisterwerke der Darstellung. Als Beispiel nenne ich das Buch "Zetafunktionen und quadratische Körper - Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie". Es ist ein Hochgenuß, danach eine Vorlesung zu halten.

Don Zagier ist ein begeisterter und begeisternder Mathematiker, wie die wenigen hier erwähnten Beispiele aus seiner Arbeit vielleicht gezeigt haben. Er hat in der Topologie, der Geometrie, der Theorie der Modulformen, der Zahlentheorie bedeutendes geschaffen. (Dies sagte ich auch schon in Schweinfurt.)

Wir wünschen ihm weiterhin Freude und Erfolg am MPI in Bonn bis zur Emeritierung im Jahre 2016 und für viele Jahre danach.

Wir freuen uns auf seinen Vortrag.