"Er rechnete, wie andere atmen"

EULERS Beiträge zum Funktionsbegriff

Euler-Vortrag im Schloßtheater des Neuen Palais von Sanssouci, Potsdam am 21. Mai 1999

RÜDIGER THIELE

1. Einleitung

Am 23. Oktober des Jahres 1783 fand an der Kaiserlichen Petersburger Akademie der Wissenschaften eine Trauerfeier für den im Monat zuvor verstorbenen LEONHARD EULER statt, auf der sein Assistent FUß eine Éloge de Euler vortrug, deren einleitende Sätze so zusammengefaßt werden können: die Aufgabe, EULERS Schaffen zu beschreiben sei gleichwertig jener, einen Überblick über das Wirken des menschlichen Geistes schlechterdings zu liefern. Jeder über EULER Vortragende weiß FUß für eine solche auf die Schwierigkeiten des Vorhabens verweisende Bemerkung natürlich Dank. Gegenüber der Reichhaltigkeit dieser geistigen Welt ist der geographische Raum EULERS geradezu dürftig: nur drei Städte bestimmen sein gesamtes Leben, darunter Berlin von 1741 bis 1766. Im höfischen Potsdam ist er kaum gewesen, in diesem schönen Theater - in dem der Hausherr, keine Person des Öffentlich-Rechtlichen, in Reihe vier anstelle von Reihe eins saß - gewiß nicht, da der Bau von HOPPENHAUPT erst 1763 in Angriff genommen wurde. In Berliner Theatern hingegen war EULER übrigens dem Akademiesekretär FORMEY durch den Besuch der "blödsinnigsten Marionettenspiele" aufgefallen. Was hat EULER am heutigen Datum seinerzeit in Berlin getan? Die wissenschaftlichen Chroniken geben nur wenig Auskunft, da auch damals Pfingsten häufig in diese Tage fiel und so der akademische Betrieb aufgrund der Ausgießung des Geistes ruhte; aber die preußische Verwaltung administrierte weiter und zahlte beispielsweise EULER am 21. 5. 1755 sein Vierteljahresgehalt von 450 Reichsthalern aus.

2. Was ist eine Funktion?

Der zentrale Begriff der Analysis ist der der Funktion. Daß der Funktionsbegriff diese beeindruckende Karriere genommen hat, ist im wesentlich das Verdienst EULERS, der schon zu Lebzeiten als die personifizierte Analysis bewundert und der von weniger Mathematikbegeisterten lediglich als lebendige Rechenmaschine betrachtet wurde. Der Berliner C. MYLIUS, übrigens ein Neffe von G.E. LESSING, verfaßte anläßlich einer - natürlich erfundenen - "Anschauung der Leibnitzschen Rechenmaschine auf der Königlichen Bibliothek zu Hannover" dieses giftige Epigramm: Dies Kunststück so verderbt zu sehen, Muß einem billig nahe gehen. Das Glück ersetzt den Mangel doch: Denn Euler lebt und rechnet noch.

DAVID HILBERTS in einer Vorlesung 1893/94 getroffene Feststellung

Nächst dem Zahlbegriff ist der Funktionsbegriff der wichtigste in der Mathematik

wird in unseren Tagen eindrücklich durch die rund 500 Einträge zum Stichwort "Funktion" eines verbreiteten japanischen Wörterbuches der Mathematik belegt. Ein Jahrzehnt nach HILBERT hatte allerdings G. FREGE bemerkt Welche Bedeutung das Wort "Function" in der Analysis habe, ist noch nicht über jeden Zweifel erhaben, und H. WEYL hat dann 1928 in seiner Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaften auf die Frage Was ist eine Funktion? die überraschende Antwort gegeben: "Niemand kann erklären, was eine Funktion ist." Diese philosophische Sicht WEYLS, die auf die Offenheit einer "schöpferischen, neue ideale Gegenstände erzeugenden Definition" verweist, berührt auch die wissenschaftshistorische Auffassung, die sich auf die Veränderungen des Funktionsbegriffs zu beziehen und die sich daher vom griechischen Größenbegriffs bis zu RUSSELLS oder BOURBAKIS Relationsauffassung zu erstrecken hat.

3. Kurzer historischer Durchlauf

Aus Zeitgründen müssen wir dabei in einem Atemzug von EUKLID bis zu EULER kommen. In der Geometrie der Griechen wurden Veränderungen der Größen durch Konstruktionen bewirkt, in der Regel mit Zirkel und Lineal. Anders erzeugte Veränderungen, selbst die Epizykloiden der Astronomie, waren mechanisch und somit ungeometrisch. DESCARTES brachte in seiner Géométrie 1637 veränderliche Größen (descrites par un mouvement continu) durch algebraische Gleichungen in eine funktionale Beziehung. Dadurch wird u.a. der klassische Konstruktionsbegriff aufgeweicht, so daß schließlich auch mechanische Kurven über die Infinitesimalmathematik unter der Leibnizschen Bezeichnung transzendente Kurven Bürgerrecht in der Mathematik erhielten (" ... patet etiam methodum nostram porrigi ad lineas transcendentes", LEIBNIZ in der bahnbrechenden Arbeit Nova methodus 1684). Eine für unser Thema entscheidende Aufgabe JAKOB BERNOULLIS verallgemeinerte das alte Problem der DIDO, und JAKOBS Bruder JOHANN bemerkte, daß dabei die die Bogenlänge betreffenden funktionalen Überlegungen eine nicht mehr konstruktiv erfaßbare, sondern - wie wir heute sagen - transzendente Beziehung unterstellten. Hierauf gründet sich seine 1718 gegebene Definition: Man nennt hier eine Quantität [quantité], die in irgendeiner Weise aus einer variablen Größe [grandeur variable] und aus Konstanten zusammengesetzt ist, Funktion dieser variablen Größe. Diese Definition verleugnet ihre geometrische Herkunft nicht: zum einen erschien in der Analysisfigur noch eine geometrische Einheitsstrecke A, die analytisch sinnlos ist; und zum anderen lag für irgendwelche Funktionen ja kein analytisches Repertoire vor (d.h. keine einschlägige analytische Formeln bergende Schatzkammer), so daß JOHANN BERNOULLI eine beliebig erzeugte Funktion (de quelque manière) nicht anders als durch eine per Hand gezogenen Kurve, also nur geometrisch, darstellen konnte.

4. EULER und der Funktionsbegriff

LEONHARD EULER war Schüler JOHANN BERNOULLIS. Für EULER war Analysis die Untersuchung funktionaler Beziehungen zwischen Zahlengrößen; genauer, indem er seinen Funktionsbegriff in das Zentrum der Untersuchungen rückte, schuf er die neue Disziplin Analysis. Bereits ein oberflächlicher Blick auf die Inhaltsverzeichnisse zweier Marksteine dieser neuen Analysis, nämlich die Analyse des infiniment petits (1696) vom Marquis DE L'HOSPITAL und EULERS ein gutes Menschenalter später erschienene Introductio in analysin infinitorum (1748), zeigt die explosive Ausbreitung des Funktionsbegriffs, der bei L'HOSPITAL noch gänzlich fehlt. EULER hat nicht nur "mit der Leidenschaft eines Käfers- und Schmetterlingssammlers" (wie sich JEAN DIEUDONNÉ einmal ausgedrückt hat) seine berühmte Lehrbuchtrilogie,

Introductio in Analysin Infinitorum (2 Bände), 1748, Institutiones Calculi Differentialis, 1755, Institutiones Calculi Integralis (3 Bände), 1768-70,

zusammengetragen, sondern er hat durch die Arithmetisierung des Gebietes unvergängliche Bestandteile der mathematischen Weltliteratur geschaffen, insbesondere auch in den benutzten Bezeichnungen. Die Schreibweise einer Funktion f(x) geht auf ihn zurück.

Wie hat nun die personifizierte Analysis, LEONHARD EULER, die geometrisch verankerte Definition JOHANN BERNOULLIS gelesen? Zunächst, wie wir einem kurz nach der Ankunft in St. Petersburg 1727 niedergeschriebenen Manuskript Calculus Differentialis entnehmen, noch genau wie der Lehrer: Eine Größe (quantitas), die auf irgendeine Weise aus einer oder mehreren Größen zusammengesetzt ist, wird deren Funktion genannt.

EULER zählte die entsprechenden Operationen auf, aus denen Funktionen gebildet werden: neben den arithmetischen Grundoperationen sind Potenzieren und Logarithmieren sowie irgendwelche Kombinationen hieraus zugelassen, und er gibt zwei Beispiele:

Damit ist das "irgendwie" (quomodocunque) präzisiert, aber "Größe" (quantitas) bleibt als Grundbegriff unerklärt. JOHANN BERNOULLI hatte etwas detaillierter von einer "veränderlichen Größe" (grandeur variable) gesprochen, die als geometrisch gedacht war. 1770 hat EULER in der Vollständigen Anleitung zur Algebra "Größen" im allgemeinen euklidischen Sinn als solche beschrieben, die "einer Vermehrung oder Verminderung fähig sind" (1, §1), aber sogleich betont, daß sich "alle Größen durch Zahlen ausdrücken lassen" (1, §5) und daß in der Analysis "also Zahlen allein betrachtet werden, ... ohne daß man sich [wie in den übrigen Teilen der Mathematik] um die besondere Art der Größen bekümmert" (1, §6). EULER hatte die Introductio, deren Manuskript vor 1744 abgeschlossen war, dem Lehrbuchprojekt vorangestellt, um - wie er im Vorwort schreibt - "den Anfänger auf jene höhere Wissenschaft vorzubereiten". Dementsprechend werden, wie es der Titel des ersten Teils verheißt, die "Funktionen veränderlicher Zahlgrößen" ausführlicher erörtert. Eine veränderliche Zahlgröße ist eine solche, die ohne Ausnahme alle bestimmten Zahlenwerte in sich begreift, modern: die alle reellen Zahlen durchläuft. Damit definiert EULER: Eine Funktion einer veränderlichen Zahlengröße ist ein analytischer Ausdruck [expressio analytica], der auf irgendeine Weise aus der veränderlichen Zahlengröße, aus Zahlen selbst oder konstanten Zahlengrößen zusammengesetzt ist.

Die Zusammensetzungen werden wieder von EULER aufgezählt, aber gegenüber der ersten Definition sind jetzt sowohl die algebraischen als auch die transzendenten Rechenoperationen beträchtlich erweitert: zulässig sind nun auch das Radizieren, allgemeiner das Auflösen von implizit gegebenen Gleichungen, und neben die elementaren transzendenten Funktionen treten auch die zahllosen durch Integration gewonnenen Funktionen. Ausgangspunkt und Vorbild dieser Definition waren offensichtlich die algebraischen Funktionen. In natürlicher Weise dehnte EULER dabei die numerisch berechenbaren Polynome auf unendliche Potenzreihen aus, gewissermaßen auf berechenbare Polynome von unendlichem Grad. Die Newtonsche Binomialreihe (1665) bildete den Hintergrund dieser weitreichenden Auffassung von Funktionen als Potenzreihen. Der analytische Ausdruck beherrscht diese Theorie, und er ist ebenso wie das algebraische Polynom eine Rechengröße, zumindest eine numerisch beliebig genau bestimmbare. In diesem Verständnis wäre der analytische Ausdruck, die expressio analytica, am besten durch Rechenausdruck zu verdeutschen. Der mit dem analytischen Ausdruck vollzogene Übergang von einer geometrischen zu einer arithmetischen-algebraischen Funktionsauffassung kann nicht prägnanter als durch den formalen Gebrauch von imaginären Argumenten bei Funktionen verdeutlicht werden, und EULER selbst merkte in der Differentialrechnung 1755 denn auch an, daß er keine einzige Figur benötigt habe. In der ein Jahrzehnt zuvor erschienenen Variationsrechnung (Methodus inveniendi, 1744) war dies noch nicht der Fall. Nun hatte NEWTON keinen Nachweis geliefert, daß eine Funktion durch die binomischen Reihe darzustellen sei, geschweige denn einen zugehörigen Konvergenzbeweis für die zugehörige binomische Reihe gegeben, und EULER konnte eine erste überzeugende Begründung auch erst 1775 (E 465) liefern, gleichwohl war er der festen Überzeugung, daß jede Funktion von z in eine nach Potenzen von z fortschreitende Reihe entwickelt werden könne. Bedenken wischte EULER mit der Bemerkung weg: Wenn jedoch einer Zweifel hegen sollte, ob eine jede solche Funktion außer den ganzen Funktionen [den trivialen Fall] durch eine unendliche Reihe derart darstellbar sei, so wird dieser Zweifel durch die tatsächliche Entwicklung einer jeden Funktion beseitigt werden. (Introductio § 59)

Dieser robuste Pragmatismus EULERS mutet uns allerdings ein wenig wie das bekannte Pfeifen im dunklen Walde an, auch deshalb, weil EULER sich beeilte hinzuzufügen, daß er der Allgemeinheit willen auch Potenzen mit beliebigem Exponenten einbeziehe, also z.B. für die Darstellung von Funktionen auch die heute Puiseux- oder Laurentreihen genannten Entwicklungen zulassen wollte. Übrigens hat er derartige Reihen tatsächlich für die Darstellung gebrochener rationaler Funktionen in der Umgebung der singulären Stellen benutzt (§ 69).

Rückblickend scheint sich EULERS Konzept als das der analytischen Funktionen zu erweisen. Das ist eine zwar verbreitete, jedoch unhistorische und auch fachlich unangemessene Sicht. Wesentliche Operationen, mit denen EULER seine Funktionen erzeugte, basieren auf unendlichen Reihen und unendlichen Produkten sowie Kettenbrüchen, und damit gelangt man - wie LEBESGUE 1905 in der Arbeit Sur les fonctions représentable analytiquement nachwies - über die Menge der analytischen Funktionen hinaus zur Menge der Borelfunktionen. Diese enorme Tragweite seines algebraischalgorithmischen Konzepts konnte sich EULER freilich noch nicht erschließen.

EULER hat sich in der Introductio dem Funktionsbegriff auch von einer anderen Seite genähert, die nicht unmittelbar ins Auge fällt. Dort, wo er die Auflösung implizit gegebener Gleichungen behandelte, mußte er konstatieren, daß es Fälle gibt, in denen x durch y bestimmt wird und auch umgekehrt, aber daß man wegen der noch "unvollkommenen Ausbildung der Algebra" nicht im Stande sei, diese funktionale Abhängigkeit in einer entwickelten Form darzustellen, Zitat: "allein das verhindert die Überzeugung der angeführten Behauptung nicht" (§ 17). EULER stellte sich hier zwar die funktionale Abhängigkeit als eine Zuordnung von Zahlenwerten vor, aber mit dem Begriff der Funktion war stets deren analytische Darstellung und somit deren Veränderung intuitiv als stetig mitgedacht. Diese Voraussetzung gilt ebenso in der Definition von 1755 in den Institutiones Calculi Differentialis: Wenn einige Quantitäten von anderen so [stetig] abhängen, daß sie bei deren [stetiger] Änderung auch selbst [stetig] verändert werden, so heißen die ersteren [stetige] Funktionen der letzteren. Eine Benennung, die sich so weit erstreckt, daß sie alle Arten, wie eine Größe durch eine andere bestimmt werden kann, unter sich begreift. Wenn also x eine veränderliche Größe bedeutet, so heißen alle Größen, welche auf irgendeine Art von x abhängen, oder dadurch bestimmt werden, Funktionen von x.

Auch die bemerkenswerte Feststellung, es handle sich um "um alle Arten der Bestimmung", fußt ganz auf dem als gegeben unterstellten analytischen Ausdruck. Die hier gesehene Erklärung einer Funktion als einer beliebigen Zuordnung, die ständig wiederholt wird, ist falsch. Zwar bewegte sich EULER insofern in die genannte Richtung, indem er den analytischen Ausdruck nicht mehr explizit oder konstruktiv gegeben haben wollte, sondern nur dessen Existenz unterstellte, aber die Definition beschreibt keinesfalls den sogenannten modernen Funktionsbegriff, den rückwärts gekehrte Propheten mathematischen Denkens aus ihr herauslesen wollen. Auch WEIERSTRAß leistet uns hier Schützenhilfe, denn er in einer Vorlesung über analytische Funktionen 1878 äußerte er sich über eine solche allgemeine Art, eine Funktion zu definieren - ich zitiere aus der Mitschrift von HURWITZ - daß sie "aber überhaupt vollkommen unhaltbar und unfruchtbar" sei. Was WEIERSTRAß, für den die analytische Darstellung einer Funktion das Entscheidende war, monierte, war, daß aus einer solchen allgemeinen Definition keine konkreten Eigenschaften für eine Funktion abgeleitet werden können. Übrigens hat EULER seine Definition von 1755 später nirgends benutzt, auch nicht, um die ihm bekannte pathologische Funktion y(x) = (-1)x zu diskutieren. Noch LOBATSCHEWSKI (1834) und DIRICHLET (1837) erklären in ihren bekannten Definitionen Funktionen nicht als irgendwelche Zuordnungen von Zahlen (wie es RIEMANN 1851 tat), sondern als stetige Beziehungen, wie es die diese Eigenschaft umschreibenden Begriffe "postepenno ismenjajetsa" bzw. "allmählich verändern" zeigen. Eine willkürliche Abbildung einer Menge auf eine andere ist wohl zuerst durch DEDEKIND 1887 in "Was sind und was sollen die Zahlen?" (§ 3) definiert worden.

Aber es gibt in der Tat eine gravierende Änderung in EULERS Auffassungen in jenen Jahren, die ich noch ganz kurz streifen will. Das seit D'ALEMBERTS Veröffentlichung von 1747 kontrovers diskutierte physikalische Problem der schwingenden Saite ließ EULER erkennen, daß eine Anbindung des Funktionsbegriffs an seinen analytischen Rechenausdruck zu eng sei: denn nicht jede Anfangslage einer schwingende Saite war durch solche analytische Ausdrücke zu erfassen, andererseits waren aber derartige willkürliche stetige Anfangslagen physikalisch sachgemäß. EULER sah sich damit der Frage gegenüber: Was ist eine solche willkürliche Funktion, und wie läßt sie sich in eine rechnungsmäßige Form bringen, um ein Objekt der Analysis zu werden? Zunächst hatte EULER unter einer Funktion das verstanden, was durch einen einheitlichen analytischen Ausdrücke gegeben war. Eine solche Funktion bezeichnete er nun als kontinuierliche Funktion (functio continua). Der Begriff "kontinuierlich" bezieht sich auf die Einheitlichkeit des Rechenausdrucks, auf dessen Zusammenhang und hat nichts mit "Stetigkeit" im heutigen Sinn zu tun. Im Verständnis von Euler waren sowohl die gebrochen rationale Funktion y(x) = als auch die bereits erwähnte pathologische Funktion y(x) = (-1) x kontinuierlich. Neben den kontinuierlichen Funktionen ließ EULER jetzt weitere Funktionen zu, die er als diskontinuierlich bezeichnete. Das sind Funktionen, die entweder aus mehreren kontinuierlichen Funktionen "zusammengestückelt" sind (functiones mixtas vel irregulares) oder die sogar wieder wie bei JOHANN BERNOULLI nur mit freier Hand gezeichnet (libero manus ductu) und lediglich graphisch dargestellt werden können. In diesem alten analytischen Sinn bewahrt übrigens bis heute die Variationsrechnung den Begriff "diskontinuierlich".

Wie ist EULER mit dieser Erweiterung umgegangen? Er war, wie wir gesehen haben, stets offen für Verallgemeinerungen, aber eine Theorie diskontinuierlicher Funktionen hat EULER bewußt nicht mehr ausgearbeitet, wohl aber hat er seit 1744 mit seinen Untersuchungen über Funktionen, die durch trigonometrische Reihen darstellbar sind, einer solchen Theorie in die Hände gearbeitet, ohne dies zu erkennen. Jedoch ermutigte er - beispielsweise 1763 in der Arbeit De usu functionum discontinuarum - in seiner optimistischen Art Mathematiker, sich dieser vielversprechenden Thematik anzunehmen. Wenn EULER dabei auf das neuen Gebiet der partiellen Differentialgleichungen, das novum analyseos genus, hinweist, so mag er ein wenig von der späteren Erfolgsgeschichte der Analysis geahnt haben, wie sie sich insbesondere in unserem Jahrhundert (etwa in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen) vollzogen hat.

Geschichte wiederholt sich. Solche Wiederkehr des Gleichen zeigte sich, als die Analysis zur Funktionalanalysis wurde. VOLTERRA sah sich 1887 bei den von ihm erklärten Funktionalen Beziehungen gegenüber, die nicht immer analytisch erfaßt werden konnten. HADAMARD unterstellte 1903 seine Funktionale schlechterdings als stetig. Schließlich sind die Differenzen zwischen der "analyse général" FRECHETS und des "calcul fonctionel" HADAMARDS ein Widerschein der alten Unterschiede von allgemeiner und konstruktiver Funktionendefinition wie sie bei RIEMANN und EULER erschienen.

Aber hierauf will ich nicht weiter eingehen, denn ich habe viel über die Funktionen gesprochen, die in der Analysis benutzt werden und die mit LAGRANGE analytisch genannt werden. Es gibt auch andere Funktionen, etwa in der Zahlentheorie. Das Kapitel 16 der Introductio, in dem EULER erzeugende Funktionen und Partitionen behandelt, ist nicht nur ein Höhepunkt des Buches, sondern der Autor schlägt hier eine kühnen Bogen zur Zahlentheorie, über die gleich berichtet werden wird.

5. Finale

Ich bin am Ende meines Vortrages. Bei einer ähnlichen Gelegenheit hatte im Eulerjahr 1907 A. KNESER abschließend die Frage gestellt: "Warum wühlen wir im alten Schutt?" Seine Antwort war zweifach: einmal um die Erfindungskunst zu mehren, und zum anderen "um unserer Väter zu gedenken"- im Goethejahr wäre dieses Zitat aus der "Iphigenie in Tauris" von 1799 besonders verführerisch, um einen Vortrag zu beenden. Lassen Sie mich aber mit einem Wort von EULERS jüngerem Zeitgenossen JONATHAN SWIFT schließen, das mit angelsächsischer Nüchternheit eine Brücke zu der von FUß eingangs geäußerten Schwierigkeit beim Beschreiben von EULERS Leben schlägt:

Elephants are always drawn smaller than life

Elefanten werden stets kleiner als in der Natur gezeichnet. [Verweis auf die Abbildung des Elefanten auf der Folie:] Q.e.d.

Literatur

Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum. 2 Bd. Lausanne: Bousquet 1748. Opera omnia Euleri, ser. I/8-9. Band 1 Leipzig: Teubner 1922, Band 2 Zürich: Orell Füssli 1945. Deutsche Übersetzung von J.A.C. Michelsen Leonhard Eulers Einleitung in die Analysis des Unendlichen, Berlin 1788; H. Maser, Einleitung in die Analysis des Unendlichen, nur Teil 1. Berlin: Springer 1885 (Reprint 1983).

Leonhard Euler, Institutiones calculi differentialis, St. Petersburg: Kaiserliche Akademie 1755. Opera omnia Euleri, ser. I/10. Leipzig: Teubner 1913. Deutsche Übersetzung von J.A.C. Michelsen Leonhard Eulers vollständige Anleitung zur Differentialrechnung, Berlin 1790-1793.

Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra. St. Petersburg: Kaiserliche Akademie 1770 (russische Übersetzung bereits 1768). Opera omnia Euleri, ser. I/1. Accesserunt Éloge de Euler von N. Fuß (1783). Leipzig: Teubner 1911. Auch in Reclams Universalbibliothek, frühe Ausgaben noch o.J.

Leonhard Euler, Calculus differentialis. Manuskript, 30 Seiten. Archiv der Petersburger Akademie, f. 136, op. 1, Nr. 183. [Beschrieben bei A. Juschkevic, Euler's unpublished manuscript Calculus Differentialis. In: Euler-Gedenkband des Kantons Basel. Basel: Birkhäuser 1983, S. 161-170.]

Die Streitschriften von Jacob und Johann Bernoulli. Hrg. D. Speiser. Basel: Birkhäuser 1991. [Hierin Solutio Problematum Fraternorum (1697) von Jac. Bernoulli, Lettre de Mr. Bernoulli à l'Auteur (1697) und die Remarques (1718) von Joh. Bernoulli].

Karl Weierstraß, Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen. Mitschrift der Vorlesung von 1878. Hrg. P. Ullrich. Braunschweig: Vieweg und DMV 1988. [Vgl. auch Ausgewählte Kapitel der Funktionenlehre. Vorlesung von 1886. Hrg. R. Siegmund-Schultze. Leipzig: Teubner 1988.]

Jesper Lützen, Euler's Vision of a General Partial Differential Calculus for a Generalized Kind of Function. Mathematics Magazine 56 (1983) 299-306.

Rüdiger Thiele, Frühe Variationsrechnung und Funktionsbegriff. In: Mathesis. Festschrift für Matthias Schramm. Verlag für Geschichte der Naturwissenschaften und Technik 1999.

Adolf Youschkevitch, The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century. Archive for the History of Exact Sciences 16 (1976-77) 37-85.