Kraftfeldmethoden (Teil 2)

Marcus Weber

Vorlesung: Algorithmische Bioinformatik

WS 05/06

1. Kraftfelder

1.1 Kraftfelder (mathematisch)

1.2 Wie real sind Kraftfelder?

TEIL 1

2. Minimierung

2.1 lokale Minimierunng

2.2 globale Minimierung

3. Moleküldynamik

3.1 Hamilton-Dynamik

3.2 Numerische Lösung

TEIL 2

4. Statistische Thermodynamik

4.1 Ensemble-Begriff

4.2 Monte-Carlo Methoden

5. Metastabile Konformationen

3. Moleküldynamik

3.1 Hamilton-Dynamik

3.2 Numerische Lösung

3.1 Hamilton-Dynamik

H(q,p) = V(q) + K(p)

Gesamtenergie potentielle Energie kinetische Energie

Kinetische Energie = 0.5 * Masse * Geschwindigkeit^2,

Impuls p = Masse * Geschwindigkeit

K(p) = 0.5 pT M-1 p

Moleküle befinden sich in Bewegung. Zeitliche Änderung von

Orts- und Impulsvariablen sind gegeben durch Differentialgleichungen:

Zusammen mit ein wenig Physik:

Definition des Impulses

actio=reactio (Newton)

Über diese Differentialgleichung kann man für gegebene Startwerte

q(0),p(0) die „Zukunft“ des Moleküls – also p(t) und q(t)– für alle

Zeitpunkte t ermitteln. Die Hamilton'sche Differentialgleichung gibt

dabei an, wie sich die Orts- und Impulsvariablen (für unendlich

kleine Zeitschritte) verändern, wenn p(t) und q(t) gegeben sind.

3.2 Numerische Lösung

„Unendlich kleine“ Zeitschritte lassen sich mit dem Rechner nicht realisieren,

deshalb (z.B. Euler-Verfahren):

Jedoch stimmt die Physik der Lösung nicht mehr: Im Gegensatz zur

Hamilton'schen Differentialgleichung kein Energieerhalt,

kein Erhalt des Gesamt(dreh)impulses, nicht reversibel.

Velocity Verlet

Stichwort: Symplektische Integratoren. Gesamt(dreh)impulserhaltend,

reversiblel und im Mittel energieerhaltend, phasenraumvolumenerhaltend.

Problemfelder der MD

Elektrostatische Wechselwirkungen (Wasser, quadratischer Aufwand).

- Explizites/Implizites Wasser (Poisson-Boltzmann Gleichung,

generalized Born-Modell = Wasser als Dielektrikum)

- Periodische Randbedingungen (Ewald Summe)

- Parallelisierung

Hochoszillatorische Schwingungen (5fs-Barriere).

- Entwicklung neuer Integratoren (RESPA, MOLLY)

- vereinfachte Molekülmodelle (United Atom)

Kondition der MD

Normalschwingungsanalyse

V(x) = V(x*) + (x-x*)T gradV(x*) + 0.5 (x-x*)T hessV(x*) (x-x*) + r(x)

X* ist ein Minimum! q:=(x-x*)

Lineare Differentialgleichung lässt sich analytisch lösen. Eigenwerte von

A = Schwingungsfrequenzen, Eigenvektoren von A = Schwingungsrichtungen.

4. Statistische Thermodynamik

4.1 Ensemble-Begriff

4.2 Monte-Carlo Methoden

Die Zustandsgrößen der statistischen Physik sind makroskopische Observable wie
<Energie>, Temperatur
<Volumen>, Druck
<Teilchenzahl>, chemisches Potential
Temperatur definiert sich bei konstanter mittlerer Energie,
Druck bei konstantem mittleren Volumen,
Chemisches Potential bei konstanter mittlerer Teilchenzahl.

Thermodynamische Randbedingungen

4.1 Das Ensemble

Energie

Materie

Isoliertes System gleichartiger Teilsysteme gleichen Volumens

Wahrscheinlichste Verteilung von Zuständen im kanonischen Ensemble

ist die Boltzmann-Verleitung:

Bezeichnung	Gleichartigkeit	Austausch

=======================================================

mikrokanonisches Ensemble (N,V,H)	Teilchenzahl, Volumen, Energie	Kein Austausch

kanonisches Ensemble (N,V,T)	Teilchenzahl, Volumen, <Energie>	Nur Energie

großkanonisches Ensemble (m,V,T)	<Teilchenzahl>, Volumen, <Energie>	Energie + Materie

Durchführung einer Messung

Separabilität der Hamilton-Funktion:

Messung = Mittelwertbildung:

4.2 Monte-Carlo Methoden

Idee der Monte-Carlo Quadratur: Erzeuge Ortszustände qi gemäß

geforderter Verteilung und approximiere kontinuierliches Integral

durch diskrete Mittelwertbildung.

Problem: Erzeugung der Ortszustände gemäß Boltzmann-Verteilung.

Markov-Ketten Monte-Carlo

Idee der Markov-Kette: Erzeuge Ortszustände sukzessive;

richtige Verteilung der Zustände über eine Justierung der

Übergangswahrscheinlichkeiten.

Jede ergodische Übergangswahrscheinlichkeit, die die folgende

Bedingung erfüllt, erzeugt im Grenzfall die richtige Verteilung:

Metropolis Monte-Carlo

Idee: Zerlege die Übergangswahrscheinlichkeit in einen

Vorschlagschritt und einen Akzeptanzschritt. Entsprechender

Algorithmus:

1. Ausgehend von qi erzeuge einen Vorschlag qi für den nächsten

Punkt der Markov-Kette (Vorschlagswahrscheinlichkeit PV).

2. Mit einer Akzeptanzwahrscheinlichkeit PA setze als nächsten Punkt

tatsächlich qi+1= qi , mit Wahrscheinlichkeit 1- PA setze qi+1= qi.

Schwierigkeit: Richtige Abstimmung der Akzeptanzwahrscheinlichkeit

auf die gegebene Vorschlagswahrscheinlichkeit.

^

^

Falls „symmetrischer Vorschlagschritt“,

dann

Dieses lässt sich realisieren über das Metropolis Akzeptanzkriterium:

Hybrides Monte-Carlo (HMC)

Beim Hybriden Monte-Carlo wird der Vorschlagschritt über eine MD-

Simulation bewerkstelligt. Dazu wählt man den Startimpulsvektor p gemäß

der entsprechenden Boltzmann-Verteilung, löst die Hamilton'sche

Differentialgleichung für ein konstantes Zeitintervall und gelangt so zu

einem neuen Ortsvektor.

Untersuchung des Vorschlagschritts

Es gibt genau einen Impuls p, der in einem festen Zeitintervall q nach q

propagiert. Also hängt die Vorschlagswahrscheinlickeit nur von der

Wahrscheinlichkeit ab, den richtigen Impuls zu wählen:

Für den „Rückweg“ muss man wegen der Reversibilität den Endimpuls

umkehren, d.h.

^

Falls „MD-Vorschlagschritt“,dann

Dieses lässt sich realisieren über das Metropolis Akzeptanzkriterium:

Voraussetzungen an den Integrator

Reversibilität: Ging in die Berechnung des Akzeptanzkriteriums
ein.

Phasenraumvolumenerhaltend: Übergang zwischen
Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeitsdichten.
Beispielsweise: Symplektische Integratoren, Hier ist der mittlere
Energieerhalt von Vorteil.

5. Metastabile Konformationen

Problem des HMC: Trapping. Motivation dafür, Zustandsbereiche

des Moleküls getrennt zu betrachten und zu berechnen.

Metastabiler (Orts-)Zustandsbereich = Konformation im ZIB/FU-Sinne

DFG-Folie

Vortrag Paderborn

Marcus Weber

2006-01-23T17:51:53