F: Wann erfolgt die Anmeldung zur Nachprüfung ? A: Ich werde alsbald den Termin klären, ich denke, die Anmeldung wird nach dem 4.8.... geschehen, wenn die Leute wissen, ob sie bestanden haben... F: sind Ihre Antwortvideos noch bis zur Klausur verfügbar oder nur noch diese Woche? A: Die Antwort-Videos lasse ich online stehen, auch die Vorlesungsvideos... F: Ich habe eine Frage zum Übungsblatt 4, Aufgabe 4: In der Aufgabe wird gefragt ob es auf dem Intervall [0;1] mehrere Fixpunkte geben kann. Damit ein weiterer Fixpunkt existiert, muss die Funktion in mindestens einem Punkt die Steigung 1 haben. Meine Frage ist nun, wie kann ich dies beantworten ohne Phi(x) zu haben? Ich hätte sonst an der Gleichung zeigen können ob dies der Fall ist, doch ganz ohne Gleichung bin ich etwas ratlos. A: Sie haben Recht, eine Möglichkeit zu zeigen, dass ein Fixpunkt eindeutig ist, besteht darin, die Ableitung der Phi-Funktion zu rechnen und zu zeigen, dass diese im entsprechenden Intervall nicht 1 werden kann. Im Falle der Funktion aus Aufgabe 4 geht das aber auch. BEGRÜNDUNG: Im Prinzip übernimmt in Aufg. 4 das L im Fixpunktsatz von Banach die Rolle der "maximalen Ableitung" auf dem Intervall, die hier kleiner als 1, nämlich L=1/7, ist. Einen Punkt mit Steigung 1 kann es daher nicht geben, die Steigung ist betragsmäßig immer kleiner als 1. Im Fixpunktsatz von Banach (siehe Seite 37 hier http://www.zib.de/weber/Mathematik1_4.pdf) steht, dass, wenn es ein solches L<1 gibt, dass dann der Fixpunkt eindeutig ist... also gibt es keinen weiteren. KURZ GESAGT: Die Voraussetzungen (siehe WENN-Abschnitt) des Fixpunktsatz von Banach sind erfüllt, daher ist der Fixpunkt nach dem Satz von Banach eindeutig (siehe DANN-Abschnitt). Es gibt keinen weiteren. In der Klausur hätte mir der Hinweis auf den Fixpunktsatz von Banach gereicht. F: Meine erste Frage ist bezüglich der Variablen m in der Residuen Formel. Oft gibt es schöne Gleichungen wo man das gut erkennt, wie das erste Beispiel in der Vorlesung sin(x)/(x-1)^3 wo m=3 ist. Jedoch wüsste ich nicht wie es z.B. bei 1/(x^2+2x-3) aussehen müsste bzw. worauf man schauen muss um das m ablesen zu können? Könnten Sie mir vielleicht Ihren Trick erzählen, wie man dies am besten tut? A: Sie können Polynome als Summen von Monomen schreiben z.B. x²+2x-3. Wenn Sie deren Nullstellen (hier: -3 und 1) bestimmen, können Sie Polynome aber auch als Produkt von Linearfaktoren schreiben x²+2x-3=(x-1)(x+3). Der Grad des Polynoms bestimmt dabei die Gesamtanzahl der Linearfaktoren. Manche Linearfaktoren können dabei mehrfach auftachen, wenn die Nullstelle z.B. mehrfach auftaucht/abdividiert werden kann, so ist x³-3x²+3x-1=(x-1)³ und der Linearfaktor (x-1) taucht dreimal auf. Dieser Exponent bestimmt das m. F: Und eine letzte Verständnisfrage zum Thema Konvergenz von Reihen. Sie haben eine Frage zum Konvergenzradius beantwortet mit der Potenzreihe x^n/n^2 wobei 1/n^2 das gesuchte a_n für das Prüfen auf Konvergenz ist. Für das Quotientenkriterium haben Sie für a_n = n^2 eingesetzt statt 1/n^2. Und ich habe nicht ganz verstanden warum nur der Nenner für a_n übernommen wurde. Gilt das bei allen Brüchen die kein n im Zähler besitzen? A: Verdammt. Das ist mein Fehler... a_n bleibt natürlich immer a_n. Da wird nichts dran verändert! Der Konvergenzradius ist in diesem Falle ja unabhängig davon (zufälliger-/glücklicherweise), aber der Bruch muss natürlich genau umgekehrt sein!!! Vielen Dank für den Hinweis! F: Ich habe eine Frage zur Aufgabe 4 in der Übung 10. In der Lösung wurden die 1/Pi gar nicht verwendet und somit erhielten Sie als Ergebnis Pi. Wenn man aber die 1/Pi berücksichtigt, erhält man glaube ich 1 für das umeigentliche Integral. Oder habe ich da was falsch verstanden? A: Das stimmt, wenn man den Vorfaktor 1/pi noch berücksichtigt, dann kommt 1 raus. Bei den Lösungshinweisen hatte ich ihn weg gelassen... F: Mir ist noch eine Sache in der 12. Vorlesung aufgefallen. Auf den Folien 22 bis 24 wird bei N=0 die 1 mit bei der Berechnung vom Koeffizienten a berücksichtigt, während das bei N=1 und N=2 nicht der Fall ist. Woran liegt das? A: In diesem Falle stimmt meine Rechnung. Die 1 ist ja der Koeffizient vor einem y^0. Und bei n=0 berücksichtigt man alle Vorfaktoren vor Termen mit y^0. Bei n=1 berücksichtigt man alle Terme mit y^1 ... da ist die 1 nicht mit dabei.