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Das Travelling Salesman Problem

(ADM III)

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Wintersemester 2013/2014

 
LV-Nr.: 3236 L234
 

Prof. Dr. Dr. h.c. mult. Martin Grötschel und PD Dr. Axel Werner
 

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Diese Vorlesung wird von mir gemeinsam mit Axel Werner gehalten. Sie schließt den Vorlesungszyklus "Algorithmische Diskrete Mathematik" für die Masterstudiengänge Mathematik und Techno- und Wirtschaftsmathematik ab.
Das Travelling-Salesman-Problem (kurz TSP) ist das bekannteste und am besten erforschte aller kombinatorischen Optimierungsprobleme. Viele Ansätze zur Lösung von kombinatorischen Fragestellungen wurden erstmals für das TSP entwickelt und rechentechnisch (z. T. sehr umfangreich) getestet. Dazu gehören LP-, Lagrange- und kombinatorische Relaxierungen, Branch & Bound, polyedrische Kombinatorik, Schnittebenenverfahren, Subgradienten- und verwandte Verfahren der nichtdifferenzierbaren Optimierung und nicht zu vergessen: vielfältige heuristische Ansätze zur Bestimmung guter Touren. Symmetrische TSPs astronomischer Größenordnung können heute optimal gelöst werden. Das gilt jedoch nicht für asymmetrische TSPs und TSPs mit Nebenbedingungen wie Zeitfenstern oder Reihenfolgebedingungen. Die Vorlesung behandelt Methoden zur Lösung des TSPs und verwandter Probleme.


Mitteilungen  

Die Vorlesungen finden jeweils montags und mittwochs statt (siehe Ort und Termine). Die erste Vorlesung zu ADM III "Das Travelling Salesman Problem" fand am
Montag, dem 14. Oktober 2013,
16:00-18:00 Uhr,
in der TU Berlin, Raum MA 043,
statt.

Die letzte Vorlesung 2013 zu ADM III wird am 18.12.2013 gehalten.

Vom 23.12.2013 - 04.01.2014 ist vorlesungsfrei.

Die Vorlesungen zu ADM III werden im neuen Jahr ab dem 6. Januar 2014 fortgesetzt.

Zum Ende des Semesters finden mündliche Prüfungen statt. Als Prüfungstermine habe ich die folgenden Tage vorgesehen:
17. Februar, 19. Februar und 20. Februar 2014. Dei Prüfungen finden im Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin, Takustr. 7, 14195 Berlin, Anmeldung Raum 3025, statt (Anreise zum ZIB). Bitte melden Sie sich zur Prüfung im ZIB über die E-Mailadresse kassezib.de an.
Bitte vergessen Sie auch nicht, sich offiziell im Prüfungsbüro der TU Berlin anzumelden und das Prüfungsformular mitzubringen.


Inhalt  

In dieser Vorlesung sollen Studierende anhand des TSPs Kenntnisse über die Methodik erwerben, wie man kombinatorische Optimierungsprobleme aus der Praxis anwendungsadäquat löst. Dabei lernen sie, wie man das gesamte Spektrum des Arsenals der kombinatorischen Optimierung einsetzen und auch die reichhaltige zugehörige Graphentheorie (u. a. Hamiltonsche Graphen) praktisch verwenden kann.

14.10.13, 1. Vorlesung
Kapitel 1: Das Travelling-Salesman- und verwandte Probleme: ein Überblick und Anwendungen
Der Überblick wurde mittels ppt-Folien gegeben.

16.10.13, 2. Vorlesung
Kapitel 2: Hamiltonsche und hypohamiltonsche Graphen und Digraphen.
Behandelt wurde das Thema hamiltonsche Graphen gestützt auf Chapter 4 des Buchs "Graph Theory and Applications" von Bondy und Murty mit einigen Ergänzungen aus dem Artikel „Updating the Hamiltonian Problem - A Survey" von Ronald J. Gould, Journal of Graph Theory, 15 (1991), 121--157.
Beide Dokumente können unter dem Punkt Downloads heruntergeladen werden.
Hinweis: Mit "Graph" bezeichnen wir in dieser Vorlesung immer einen einfachen Graphen, also einen Graphen, der keine Schlingen und keine parallelen Kanten enthält. Falls solche Kanten erlaubt sind, sprechen wir von einem "Multigraphen".

21.10.13, 3. Vorlesung
Kapitel 2: Hamiltonsche und hypohamiltonsche Graphen und Digraphen.
Das Thema der heutigen Vorlesung war hypohamiltonsche Graphen und Digraphen, wobei auch auf hypobegehbare (wir benutzen stattdessen die englische Bezeichnung: hypotraceable) Graphen und Digraphen eingegangen wurde. Ein Graph G=(V,E) heißt hypohamiltonsch (hypotraceable), wenn er keinen hamiltonschen Kreis (Weg) enthält und wenn, für jeden Knoten v aus V, der Graph G-v einen hamiltonschen Kreis (Weg) enthält. Hypohamiltonsche (hypotraceable) Digraphen sind analog definiert. Diese Graphen und Digraphen werden später bei der polyedrischen Beschreibung des TSP eine Rolle spielen. Es war lange Zeit unklar, ob und für welche n Graphen bzw. Digraphen dieser Art mit n Knoten existieren und welche Eigenschaften diese Graphen besitzen. Einen kurzen Überblick über hypohamiltonsche Graphen kann man in Wikipedia unter http://en.wikipedia.org/wiki/Hypohamiltonian_graph finden. Im Artikel wird gezeigt, wie man alle "kleinen n " enumerieren kann, um die Existenz kleiner hypohamiltonscher Graphen mit n Knoten nachzuweisen. Resultat: Es gibt hypohamiltonsche Graphen mit n Knoten für n = 10, 13, 15, 16, 18 und alle größeren n. In der Vorlesung wurden einige Ergebnisse (Konstruktionen von unendlichen Klassen von hypohamiltonschen und hypotraceable Graphen) aus folgenden Artikeln vorgestellt:
Der kleinste bisher bekannte hypotraceable Graph wurde von Carsten Thomassen entdeckt. Er hat 34 Knoten und kann durch einen "Zusammenbau" von vier Petersen-Graphen konstruiert werden. Es ist relativ einfach zu zeigen, dass ein hypotraceable Graph mindestens 10 Knoten haben muss; ob es hypotraceable Graphen mit einer Anzahl von Knoten im Bereich 10 bis 33 gibt, ist unbekannt. Ebenso kennt man keine solchen Graphen mit 35, 36, 38 und 41 Knoten. Für alle anderen Knotenzahlen n sind hypotraceable Graphen mit n Knoten konstruiert worden.

In der Vorlesung wurden ebenfalls entsprechende Resultate für hypohamiltonsche und hypotraceable Digraphen vorgetragen. Diese entstammen den Artikeln:
Es gibt hypohamiltonsche Digraphen mit 6 und mehr Knoten und hypotraceable Digraphen mit 7 und mehr Knoten, aber keine kleineren Digraphen dieser Art.

23.10.13, 4. Vorlesung
Kapitel 3: Die "natürlichen" IP-Formulierungen des STSP und des ATSP und verschiedene Travelling-Salesman-Polytope
In dieser Vorlesung wurde der "natürliche Zugang" zum symmetrischen und asymmetrischen TSP beschrieben. Das symmetrische und asymmetrische Travelling-Salesman-Polytop (konvexe Hülle der Inzidenzvektoren aller Touren) wurde eingeführt, ebenso wie die Monotonisierungen dieser beiden Polytope. Einfache Eigenschaften dieser Polytope wurden bewiesen. Die hamiltonschen Kreise (Touren) eines vollständigen Graphen oder Digraphen wurden als Lösungsmenge eines ganzzahligen Programms bestehend aus Gradungleichungen und Kurzzyklusbedingungen charakterisiert.
Der Inhalt der Vorlesung folgte Kapitel 1 und den Abschnitten 2.1 bis 2.3 des Artikels: 28.10.13, 5. Vorlesung
In der heutigen Vorlesung wurden noch einmal auf die TSP-Polyeder und die "natürlichen" Formulierungen des STSP und des ATSP als ganzzahliges Optimierungsproblem mit Hilfe von Gradungleichungen und Kurzzyklus- bzw. Schnittungleichungen eingegangen, siehe Abschnitt 2.4 von Grötschel und Padberg (1985). Insbesondere wurde auf die Bedeutung von Facetten und von Äquivalenz von Ungleichungen bei IP-Formulierungen hingewiesen. Der Einstieg in
Kapitel 4: Kombinatorische Verwandte des TSP
wurde mit einer Erläuterung der Bedeutung von primalen und dualen Heuristiken begonnen, wobei sich das jetzige Kapitel mit letzteren befasst. Duale Heuristiken sind nichts anderes als Methoden zur Lösung von Relaxierungen. Die 1-Baum-Relaxierung des STSP wurde ausführlich eingeführt, und die vollständige Beschreibung des 1-Baum-Polytops wurde auf die in ADM II behandelte Theorie der Matroidpolyeder zurückgeführt. Dabei zeigte es sich, dass die natürliche IP-Formulierung des STSP der Beschreibung des 1-Baum-Polytops sehr ähnlich ist.

30.10.13, 6. Vorlesung
Es wurden weitere kombinatorische Relaxierungen des TSP behandelt, für die man -- wie für die 1-Baum-Relaxierung aus der letzten Vorlesung -- vollständige Beschreibungen der konvexen Hülle der zugehörigen Inzidenzvektoren angeben kann. 2-Matchings sind allgemeinere Strukturen als Hamiltonkreise, das zugehörige Polytop kann durch Ungleichungen beschrieben werden, die von gewissen Knotenmengen kommen, siehe Kapitel 3 von Grötschel und Padberg (1985).
Das asymmetrische TSP wird durch das Zuordnungsproblem verallgemeinert, und hier kann das zugehörige Polytop aufgrund totaler Unimodularität (siehe ADM I) direkt hingeschrieben werden.

04.11.13, 7. Vorlesung
Heute wurde gezeigt, wie das Unabhängigkeitssystem (bzw. Basissystem) aller Teilmengen von Hamiltonkreisen (bzw. aller Hamiltonkreise) im vollständigen gerichteten Graphen als Schnitt dreier Matroide (bzw. Basissysteme von Matroiden) dargestellt werden kann. Schneidet man nur jeweils zwei dieser drei Matroide, so ergeben sich weitere kombinatorische Relaxierungen, zum einen die (schon aus der letzten Vorlesung bekannten) Zuordnungen, zum anderen (Anti-)Branchings und (Anti-)Arboreszenzen, die gerichteten Versionen von Wäldern und Bäumen in ungerichteten Graphen. Ein anderer Typ von Relaxierung wird in
Kapitel 5: Lagrange-Relaxierung und Subgradienten-Methode
vorgestellt. Für das (symmetrische) TSP erhält man die Lagrange-Relaxierung, indem man die 1-Baum-Relaxierung in gewisser Weise mit Knotengewichten variiert; dies ist ein Spezialfall der Lagrange-Relaxierung für allgemeine ganzzahlige Programme, die zum Lagrange-dualen Problem führt.

06.11.13, 8. Vorlesung
In der heutigen Vorlesung wurde Lagrange-Relaxierung für allgemeine ganzzahlige Programme besprochen und wichtige Eigenschaften der Lagrange-Funktion bewiesen: diese ist konkav, beschränkt und stückweise linear. Damit liefert die Lösung des Lagrange-dualen Problems tatsächlich eine untere Schranke für das betrachtete IP. Um das Lagrange-Duale zu lösen, kann man Subgradienten benutzen, die eine Verallgemeinerung von Gradienten für (nicht notwendigerweise differenzierbare) konkave Funktionen darstellen. Für stückweise lineare Funktionen kann man die Menge der Subgradienten (das Subdifferential) direkt berechnen; für die Funktion f(λ1, λ2) = -(|λ1|+|λ2|) beispielsweise ist das Subdifferential im Punkt 0 gerade der -1/1-Würfel im 2-dimensionalen Raum.

11.11.13, 9. Vorlesung
Das Subgradientenverfahren wurde heute als Algorithmus formuliert, sowohl in allgemeiner Form, als auch in der speziellen Version zur Berechnung unterer Schranken für das symmetrische TSP. Dabei gibt es eine ganze Reihe Parameter, die geeignet gewählt werden müssen, um eine gute Performance zu erreichen; allgemeingültige Regeln für diese Wahl der Parameter anzugeben ist schwierig. Eine Zusammenfassung zur Lagrange-Relaxierung und zum Subgradientenverfahren, die ich in den beiden vorhergehenden Vorlesungen behandelt habe, finden Sie hier.

Die angekündigte Programmieraufgabe kann jetzt heruntergeladen werden, siehe Downloads.

13.11.13, 10. Vorlesung
Zu Beginn der Vorlesung wurde das Bündelverfahren, eine Verallgemeinerung des Subgradientenverfahrens für nichtdifferenzierbare Optimierung, erläutert und der Einsatz dieser Methode zur Lösung der Lagrange-Relaxierung der 1-Baum-Relaxierung des STSP skizziert. Danach wurde mit dem nächsten Kapitel begonnen:
Kapitel 6:Gütegarantien für Heuristiken, Eröffnungsheuristiken für das TSP
Zur Einleitung wurden die wichtigsten Gütemaße (Worst-Case-Schranken) sowie Approximationsschemata (AS), polynomiale und voll-polynomiale AS (PAS; FPAS) vorgestellt. Es wurde gezeigt, dass ein FPAS, welches polynomial in <ε> ist, bereits die Existenz eines polynomialen Algorithmus für ein Problem impliziert.

18.11.13, 11. Vorlesung
Die Definition von Gütegarantie-Konzepten wurde fortgeführt (absolute Gütegarantie RA, asymptotische Gütegarantie RA, bestmögliche asymptotische Gütegarantie Rmin(Π), Differenzgarantie). An einigen Beispielen (u. a. Bin Packing, Knoten-und Kantenfärbung) wurden diese Konzepte erläutert. Danach wurden die wichtigsten Eröffnungsheuristiken für das STSP vorgestellt: Nächster Nachbar, doppelseitiger nächster Nachbar; Nearest, Farthest und Cheapest Insert; Spanning Tree- und Christofides-Heuristik. Der Fleury- und der Hierholzer-Algorithmus zur Bestimmung einer Euler-Tour in einem Eulerschen Graphen wurden beschrieben.

20.11.13, 12. Vorlesung
Anhand einer konkreten Beispiel-Instanz wurden die in der letzten Vorlesung angegebenen Eröffnungsheuristiken demonstriert. Dabei sieht man, dass die unterschiedlichen Verfahren, auch bei verschiedener Wahl der noch offenen Parameter wie Startknoten oder -kreise, recht unterschiedlich gute zulässige Lösungen für das symmetrische TSP finden können. Es wurde bewiesen, dass das ε-Approximationsproblem für das allgemeine symmetrische TSP NP-vollständig ist.
Für den spezielleren Fall des metrischen TSP kann man Gütegarantien für die von den Heuristiken gelieferten Touren beweisen. Bei der Nearest-Neighbour-Heuristik ist diese Güte abhängig von der Anzahl der Knoten, wie eine Familie von extremalen Beispielen zeigt.

25.11.13, 13. Vorlesung
Ähnlich wie bei der NN-Heuristik kann man auch für die Spanning-Tree- und Christofides-Heuristik Beispiele konstruieren, die zeigen, dass die bewiesenen Güteabschätzungen bestmöglich sind. Für das asymmetrische TSP kennt man keine Heuristiken, für die man konstante Gütegarantien beweisen kann; in der Vorlesung wurde ein Algorithmus behandelt, der eine Tour mit einer Gütegarantie in O(log n) berechnet. Schließlich wurde der Spezialfall des Euklidischen TSP besprochen, einige einfache grundlegende Eigenschaften diskutiert und eine weitere Heuristik, welche die konvexe Hülle der gegebenen Punkte benutzt, angegeben; Details siehe: Euklidisches TSP.

27.11.2013, 14. Vorlesung
In der heutigen Vorlesung wurde das Thema "Eröffnungsheuristiken" mit der kurzen Vorstellung der Space Filling Curve-Heuristik für STSPs im Einheitsquadrat abgeschlossen und mit dem Kapitel 7: Verbesserungsheuristiken
begonnen. Es wurden nur STSPs behandelt, Heuristiken für das ATSP funktionieren analog. Eine Verbesserungsheuristik (auch local search heuristic genannt) startet mit einer Tour (gefunden mit einer Eröffnungsheuristik), entfernt aus dieser ein paar Kanten und setzt die verbleibenden Wege neu zusammen, um - wenn möglich - einen bessere Tour zu erhalten. Das hört sich einfach an, ist theoretisch einfach, aber daraus einen Algorithmus zu machen, der in vernünftiger Laufzeit gute Lösungen liefert, ist nicht trivial und erfordert hohen Experimentieraufwand.
Es wurden insbesondere die Standardaustauschmethoden vorgestellt (Zweier-Austausch (2-Opt), r-Austausch (r-Opt), Knotenaustausch). Es wurde darauf hingewiesen, dass diese Verfahren weder eine beweisbar polynomiale Laufzeit noch (bei Dreiecksungleichung) eine konstante Gütegarantie haben, dass diese aber dennoch in der Praxis gut funktionieren. Auf den Lin-Kernighan-Algorithmus (parametergesteuertes r-Opt-Verfahren mit variablem r), zu dem es viele Folgeveröffentlichungen gibt, wurde genauer eingegangen und insbesondere auf die besonders erfolgreiche Implementation von K. Helsgaun hingewiesen, siehe Keld Helsgaun, "An effective implementation of the Lin-Kernighan traveling salesman heuristic", European Journal of Operational Research 126 (2000) 106-130 und die weiterführende Webseite http://www.akira.ruc.dk/~keld/research/LKH/. Mit dieser Methodik können TSPs nahezu optimal gelöst werden (allerdings ohne Beweis).
Ferner wurde kurz auf randomisierte Such/Austauschverfahren eingegangen wie z. B. Simulated Annealing, Taboo Search, genetische und evolutionäre Verfahren, ...).

02.12.2013, 15. Vorlesung
Kapitel 8: Stochastische Aspekte und ein PTAS für Euklidische TSP
wurde in der heutigen Vorlesung begonnen. Zunächst wurde die Situation bei der zufälligen Verteilung von n Punkten im Einheitsquadrat [0,1]2 untersucht. An einfachen Beispielen sieht man schon, dass optimale Touren dabei in der Regel Längen der Größenordnung n haben.
Der Satz von Beardwood, Halton & Hammersley präzisiert diese Aussage. Der "Fixed Dissection Algorithmus" von Karp berechnet Touren, welche die gleiche asymptotische Güte haben.
Schließlich wurde mit der Behandlung des Algorithmus von Arora begonnen, der zu einem polynomialen Approximationsschema für das Euklidische TSP führt. Dazu wurden ε-diskretisierte Euklidische TSPs definiert und gezeigt, dass ein PTAS für solche bereits ausreicht, um eines für beliebige Euklidische TSPs anzugeben.

04.12.2013, 16. Vorlesung
In dieser Vorlesung wurde der Algorithmus von Arora behandelt, der für ein gegebenes ε-diskretisiertes Euklidisches TSP eine Tour berechnet, die mit Wahrscheinlichkeit 1/2 eine Güte von 1+ ε hat. Dazu zerlegt man ein genügend großes Ausgangsquadrat, in dem alle gegebenen Punkte liegen, in immer kleinere Quadrate, die zudem durch zufällig gewählte Parameter verschoben werden. Man kann zeigen, dass dann eine Tour durch die gegebenen Punkte, plus weitere, sorgfältig gewählte "Portale" auf den Gitterlinien existiert, welche die benötigte Gütegarantie mit Wahrscheinlichkeit 1/2 erfüllt. Eine solche optimale "Steiner-Tour" berechnet der Algorithmus mittels dynamischer Programmierung und bekommt daraus die gesuchte Tour durch die gegebenen Punkte durch Abkürzen. Die Laufzeit des Algorithmus liegt in O(n (log n)c ), wobei c in O(1/ε) unabhängig von n ist.
Durch Hintereinanderausführen des Algorithmus mit allen möglichen (bzw. genügend vielen) Parametern bekommt man einen derandomisierten Algorithmus mit Laufzeit in O(n3 (log n)c), der damit ein PTAS für das Euklidische TSP darstellt.

09.12.2013, 17. Vorlesung
Kapitel 9: Branch&Bound-Verfahren
Das Branch&Bound-Verfahren ist eine Standardmethode zur Lösung von ganzzahligen Optimierungsproblemen. Theoretisch ist das Verfahren trivial, effiziente Implementierungen sind das allerdings keineswegs. Nach einer Wiederholung des prinzipiellen Vorgehens, das u.a. auf Artikel aus den 1950er Jahren von Markowitz and Manne, Eastman und Land and Doig zurückgeht, wurde das Verfahren von Little, Murty, Sweeny and Karel (LMSK) zur Lösung asymmetrischer TSPs vorgestellt. Das geschah aus historischen Gründen, denn der LMSK-Algorithmus ist einer der Großväter aller B&B-Verfahren. Im LSMK-Artikel wurde der Begriff Branch&Bound erstmals geprägt. Heute ist diese Methode nicht mehr wettbewerbsfähig. Es wurde dann erläutert, wie man die simple Relaxierung des LMSK-Verfahrens durch die Assignment-Relaxierung verbessern kann. In der Vorlesung wurde auch auf implementationstechnische Details hingewiesen (Auswahl der Branching-Variablen, effiziente Abspeicherung der Teilprobleme, Probleme bei der Parallelisierung,...). Zur Geschichte des Branch&Bound-Verfahrens wird der Artikel von William Cook:"Markowitz and Manne + Eastman + Land and Doig= Branch and Bound", Documenta Mathematica, Extra Volume ISMP (2012),S. 227-238, empfohlen.

11.12.2013, 18. Vorlesung
Die Branch&Bound-Technik funktioniert beim STSP natürlich analog. Die LP-Relaxierung des symmetrischen 42-Städte-Problems von Dantzig, Fulkerson and Johnson wurde herangezogen, um anhand eines Beispiels die Wirkungsweise des B&B-Verfahrens im symmetrischen Fall bei LP-Relaxierung (und einigen Schnittebenen) zu erläutern.

Die Bedeutung der Arbeit von Dantzig et al. (LP-Relaxierung, Schnittebenen und rudimentäres Branch&Bound) wurde gewürdigt in: Martin Grötschel, George L. Nemhauser, "George Dantzig's contributions to integer programming", Journal of Discrete Optimization, 5 (2008), S. 168-173.
Es wurden noch einmal zusammenfassend verschiedene Beispiele für Bounding-Techniken sowie für Branching-Regeln gegeben und weitere wichtige, den Verlauf einer Branch&Bound-Optimierung beeinflussende Faktoren angesprochen. Schließlich wurde ein Branch&Bound-Durchlauf anhand eines konkreten IP-Modells am Rechner demonstriert; dabei kann man die Entwicklung von unteren und oberen Schranken, Güteabschätzung, Anzahl abgearbeiteter und noch offener Teilprobleme etc. mitverfolgen und so das Fortschreiten des Verfahrens nachvollziehen.

16.12.2013, 19. Vorlesung
Zu diesem Termin fand ein Besuch im Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik statt. Beim Besuch am ZIB hatte jeder die Möglichkeit, eine TSP-Tour durch ein Foto des eigenen Gesichts anzufertigen und mitzunehmen. Außerdem gab es eine Führung durch den Supercomputer des HLRN und eine Präsentation im 3D-Labor "Studio da Vinci".

18.12.2013, 20. Vorlesung
Zur letzten Vorlesung des Jahres gab es noch zwei Spielereien rund um TSP und Hamiltonsche Touren. Zum einen wurde die Frage untersucht, ob es eine Folge von Spielzügen gibt, mit denen ein Springer alle Felder eines Schachbretts (der Größe n x n) besuchen kann. Eine solche "Knight's Tour" gibt es genau dann, wenn n>=5 ist; soll es eine geschlossene Tour werden, dann muss zusätzlich noch n gerade sein, wie man recht leicht aus der Schwarz/Weiß-Färbung der Schachbrettfelder herleiten kann.
Zum anderen wurde ein Graph aller Touren definiert und angedeutet, wie man in diesem Touren-Graph eine Hamilton-Tour findet. Die Existenz einer solchen Tour bedeutet, dass man im Prinzip alle Touren "effizient" durchlaufen kann (d.h., so enumerieren, dass für jede der (mehr als exponentiell vielen) Touren nur konstant viel Rechenaufwand nötig ist).
Hier gibt es ein Java-Applet, mit dem man TSPs selber lösen kann. Insbesondere kann man sehr schön lokale Verbesserungsschritte ausprobieren. Bei 'fertig' bekommt man eine Information, ob die eigene Tour optimal ist und mit 'Berechnungsschritte' kann man verfolgen, wie sich untere und obere Schranke bei der Berechnung der optimalen Tour (mit Lagrange-Relaxierung) verändern.

06.01., 08.01.2014, 13.01.,15.01.2014, 21.-24. Vorlesung
Kapitel 10: Das symmetrische Travelling-Salesman-Polytop
In diesen vier Vorlesungen wurde an die Vorlesungen 4 bis 8 angeknüpft und eine intensive Untersuchung des symmetrischen TSP-Polytops vorgenommen. Nach einer Wiederholung der Definitionen und einiger bereits bekannter Polytope, die mit dem TSP-Polytop verwandt sind (1-Baum und 2-Matching) wurde die Dimension des symmetrischen TSP-Polytops n(n-1)/2 bestimmt (mit zwei unterschiedlichen Beweistechniken), es wurden 2-Matching, Kamm- und Cliquenbaum-Ungleichungen eingeführt und ihre Gültigkeit für das TSP-Polytop bewiesen. Es wurde gleichfalls gezeigt, dass Subtour Elimination Constraints Facetten des Polytops definieren. Es wurde überlegt, ob und wie Facettenresultate vom symmetrischen TSP-Polytop auf das monotone symmetrische TSP-Polytop übertragen werden können und umgekehrt. Chvátal-Gomory-Schnitte wurden eingeführt und der Chvátal-Rang erklärt. Es wurde dargelegt, dass die Klasse der Cliquenbaum-Ungleichungen einen unbeschränkten Rang hat, wenn man mit dem Subtour-Elimination-Polytop startet.
Schließlich wurden noch einige "exotische" Ungleichungen angegeben, die von hypohamiltonschen Graphen kommen und von denen man weiß, dass zumindest manche von ihnen ebenfalls Facetten definieren -- eine genauere Klassifikation ist dabei aber bis heute offen, ebenso wie die Frage, wie ein vollständiges System facettendefinierender Ungleichungen für das allgemeine symmetrische TSP-Polytop aussieht.

20.01., 22.01.2014, 25.-26. Vorlesung
Zum Abschluss der Polyedertheorie wurde noch das asymmetrische TSP-Polytop behandelt. Die Dimension kann man auf ähnliche Weise bestimmen, aber man kennt keine solch umfangreiche Klasse von facettendefinierenden Ungleichungen wie die Cliquenbaum-Ungleichungen im symmetrischen Fall. Im Allgemeinen definieren noch nicht einmal alle trivialen Ungleichungen Facetten, wie man z.B. an den Upper-Bound-Ungleichungen sieht. Es gibt allerdings zwei Strategien, mit denen man unter gewissen Voraussetzungen Facetten bekommt. Zum einen kann man eine Lifting-Technik benutzen, mit der facettendefinierende Ungleichungen für "kleine" verwandte Polytope zu solchen für das eigentliche ATSP-Polytop ausgebaut werden können. Zum anderen kann die Tatsache ausgenutzt werden, dass das STSP-Polytop das Bild des ATSP-Polytops unter einer bestimmten Projektionsabbildung ist und man so gültige Ungleichungen für das eine in gültige Ungleichungen für das andere "übersetzen" kann. Diese müssen aber nicht notwendigerweise facettendefinierend sein, selbst wenn die im symmetrischen Fall es waren. Wie für das STSP-Polytop gibt es auch für das ATSP-Polytop noch einige weitere "exotische" Klassen von (teilweise facettendefinierenden) Ungleichungen, ein vollständiges System für allgemeine n ist aber nicht bekannt. Schließlich wurde noch eine erstaunliche Eigenschaft des ATSP-Polytops angesprochen: der Durchmesser seines Graphen ist nämlich (unabhängig von n) höchstens 2! Im Prinzip könnte also der Simplex-Algorithmus mit geeigneten Pivotregeln Travelling-Salesman-Probleme in wenigen Iterationen lösen, was aber aufgrund der riesigen Anzahl an Facetten (und der Tatsache, dass man sie im Allgemeinen noch gar nicht alle kennt) natürlich praktisch unmöglich ist. Der Inhalt der Vorlesungen zur Polyedertheorie ist im Wesentlichen dem Artikel
entnommen.

27.01.2014, 27. Vorlesung
Heute wurden die sieben eingereichten Programme zur Lösung der Programmieraufgabe vorgestellt und eine erste Auswertung der Performance der Programme auf kleinen Instanzen gezeigt.

29.01.2014, 28. Vorlesung
Kapitel 11: Separierungsalgorithmen
Zur Ausnutzung der Polyedertheorie beim Travelling Salesman Problem ist man aufgrund der exponentiellen Anzahl der das TSP-Polytop definierenden Ungleichungen (und natürlich der Tatsache, dass man diese gar nicht alle kennt) auf Algorithmen angewiesen, die Ungleichungen dynamisch generieren. Dabei sollen möglichst nur die betrachtet werden, welche zur Laufzeit auch wirklich benötigt werden, d.h. solche, die von einer aktuellen fraktionalen Lösung einer LP-Relaxierung verletzt werden. Komplexitätstheoretisch sind Separierung und Optimierung in gewissem Sinne äquivalent. Es stellt sich daher die Frage, wie möglichst effiziente Separierungsalgorithmen aussehen. Wir haben dazu heute eine Heuristik kennengelernt, die mittels Zusammenziehen von Kanten im Graphen entweder eine verletzte Kurzzyklusbedingung identifiziert oder einen kleineren Graphen zurückliefert, in dem die Identifikation einer solchen durch einen exakten Algorithmus schneller zu bewerkstelligen ist als im ursprünglichen Graphen.

03.02.2014, 29. Vorlesung
In der heutigen Vorlesung wurde Kapitel 11 mit einem exakten Separierungsalgorithmus für Kurzzyklusbedingungen fortgesetzt. Hierzu verwandelt man jede Kurzzyklusbedingung x(E(W)) ≤ |W|-1 in eine (äquivalente) Schnittungleichung der Form x(δ(W)) ≥ 2. Falls man eine verletzte Schnittungleichung gefunden hat, hat man automatisch auch eine verletzte Kurzzyklusbedingung entdeckt. Ist ein Vektor y gegeben, der die Bedingungen 0 ≤ ye ≤1 für alle Kanten e und y(δ(i)) = 2 für alle Knoten i erfüllt, dann betrachten wir die Werte ye als Kantenkapazitäten und suchen nach einem Schnitt δ(W), Ø ≠ W ≠ V, im vollständigen Graphen Kn = (V,E) mit minimaler Kapazität. Einen solchen Schnitt kann man dadurch bestimmen, dass man für je zwei Konten i und j einen Schnitt minimaler Kapazität findet, der i und j trennt, und dann einen kleinsten aller minimalen [i,j]-Schnitte auswählt. Dies kann man mit jedem Maximalflussalgorithmus machen. Die Anzahl der Aufrufe des Maximalflussalgorithmus ist hierbei quadratisch in n. Wenn man das Gomory-Hu-Verfahren verwendet, das diesen Prozess besser organisiert, kommt man mit n-1 Aufrufen eines Maximalflussalgorithmus zur Bestimmung eines minimalen Schnittes aus. Findet man einen Schnitt, dessen Kapazität kleiner als 2 ist, ist eine Schnitt- bzw. Kurzzyklusungleichung gefunden, die von y verletzt wird. Andernfalls liefert dieses Vorgehen einen Beweis dafür, dass y alle Kurzzyklusbedingungen erfüllt. Dieses Vorgehen löst das Separierungsproblem für Kurzzyklusbedingungen in polynomialer Zeit.

Im Anschluss daran wurde mit einem Überblick über das Thema "Polynomiale Äquivalenz von Optimierung und Separierung" begonnen.

05.02.2014, 30. Vorlesung
Die heutige Vorlesung war eine Fortsetzung des am 3.2. begonnen "Exkurs" und bestand aus einer sehr knappen Zusammenfassung von Teilen der Kapitel 2 (Seiten 46-56), 4 (Seiten 102-195) und 6 (Seiten 156-163, 179) des Buchs M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver, Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988/1993, siehe http://www.zib.de/groetschel/pubnew/paper/groetschellovaszschrijver1988.pdf.
Die in diesem Buch behandelte Theorie zeigt, dass - unter gewissen technischen Voraussetzungen - ein polynomialer Algorithmus für ein Problem einen polynomialen Algorithmus für ein anderes Problem impliziert. Die in diesem Sinne zu verstehende polynomiale Äquivalenz wurde für folgende Probleme (für volldimensionale konvexe Körper mit zusätzlichen Informationen) erläutert: Weak Optimization, Weak Vialation, Weak Validity, Weak Seperation und Weak Membership. Ebenso wurde die polynomiale Äquivalenz von Strong Optimization, Strong Violation und Strong Membership für (nicht notwendig volldimensionale) "well-described" Polyeder angegeben.
Konkret bedeutet das z. B., dass ein polynomialer Algorithmus zur Separierung der Kurzzyklusbedingungen (wie oben angegeben) impliziert, dass man über dem Polytop, das durch alle (ungefähr) 2n-1 Kurzzyklusbedingungen gegeben ist, in einer Zeit optimieren kann, die polynomial in der Anzahl der Knoten des vollständigen Graphen und der Kodierungslänge der Zielfunktion ist. Damit kann man durch einen polynomialen Algorithmus zur Lösung eines sehr großen LPs eine untere Schranke für die Länge einer optimalen Tour finden, die empirisch sehr nahe bei der optimalen Tourlänge liegt.

Die in diesem Exkurs skizzierte Theorie bildet den theoretischen Hintergrund des praktischen Erfolgs der Schnittebenenverfahren für das TSP und viele andere kombinatorische Optimierungsprobleme.

10.02.2014, 31. Vorlesung
Heute wurde das Kapitel zur Separierung abgeschlossen mit einem exakten Verfahren für 2-Matching-Ungleichungen. Hier kann man das Separierungsproblem -- ähnlich wie bei den Kurzzyklus-Ungleichungen -- transformieren in das Problem, einen minimalen Schnitt zu finden, der allerdings noch zusätzliche Bedingungen erfüllen muss. Mit einer Erweiterung des Gomory-Hu-Algorithmus kann man dieses Problem wieder in polynomialer Zeit lösen.
Schließlich wurde ein letzes kurzes Thema behandelt:
Kapitel 12: Alternative IP-Formulierungen für das ATSP
Anstatt der exponentiell vielen Kurzzyklusbedingungen kann man auch andere Ungleichungen benutzen, die Kurzzyklen ausschließen. In der Regel müssen dazu zusätzliche Variablen eingeführt werden, aber dafür hat die vollständige IP-Formulierung nur polynomiale Größe und daher kann die LP-Relaxierung relativ problemlos direkt gelöst werden. Häufig sind jedoch die Relaxierungen, die man so bekommt, schwächer als die Standardformulierung, d.h., die Projektion auf den Raum der x-Variablen ergibt ein größeres Polytop und damit ein (manchmal deutlich) schlechteres LP-Optimum. Eine Zusammenfassung der vielen aktuell bekannten IP-Formulierungen für das ATPS und einen Überblick über deren Stärken gibt der Artikel
Öncan, Altınelb, Laporte. "A comparative analysis of several asymmetric traveling salesman problem formulations", Computers & Operations Research, Vol. 36, Issue 3, (2009), 637-654.

12.02.2014, 32. Vorlesung
In dieser letzten Vorlesung des Semesters wurde ein Rückblick über die in dieser Veranstaltung vorgetragenen Themenbereiche gegeben, es wurde insbesondere auf die praktische Anwendbarkeit bzw. Nichtanwendbarkeit hingewiesen. Nicht alle theoretisch schönen und interessanten Ergebnisse sind auch von praktischer Bedeutung. Nicht alle in der Vorlesung vorgestellten Methoden sind bei allen Anwendungen zielführend. Manchmal sind ganz simple Beobachtungen aus rechentechnischer Sicht enorm hilfreich. Bei der Entwicklung von Lösungsmethoden für reale Fragestellungen sind - wie alle Erfahrungen gezeigt haben - umfangreiche Rechenexperimente mit Daten aus der Praxis unerlässlich, wenn man in akzeptabler Zeit echte Probleme signifikanter Größenordnung angemessen lösen will. Nicht selten hilft eine geschickt gewählte Kombination von exakten Methoden und Heuristiken. Dies gilt nicht nur für das TSP, sondern für kombinatorische Optimierungsprobleme und ganzzahlige Programme im Allgemeinen.
Am Ende der Vorlesung wurden die Sieger im TSP-Programmierwettbewerb mit T-Shirts ausgezeichnet.

Die Auswertung der Programmieraufgabe finden Sie hier.


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Zu dieser Vorlesung wird kein Skript erstellt. Zu den einzelnen Kapiteln gibt es jeweils konkrete Literaturhinweise, die nachfolgend heruntergeladen werden können.

Literaturhinweise zur Vorlesung am 16. Oktober 2013 14. November 2013



Voraussetzungen  

Es wird erwartet, dass die Teilnehmer die Vorlesungen ADM I und ADM II gehört bzw. entsprechende Kenntnisse erworben haben.

Anmeldung  

Bitte melden Sie sich, wenn Sie die Vorlesung besuchen wollen, elektronisch an (Name, Vorname, Matrikelnummer, Studienfach, Semesterzahl, E-Mailadresse).
Klicken Sie bitte auf Anmeldung.

Ort und Termine  

Vorlesung:
Montags und mittwochs 16:15 - 17:45 MA 043
Zu dieser Vorlesung gibt es keine Übungen!

Kontakt  

Büro

Name

Konsultationen

Raum

Telefon

E-Mail

Büro an der TU Berlin:

Martin Grötschel

nach Absprache

Raum: MA 302

314-23266

Bitte unter: groetschelzib.de

Büro am Zuse-Institut (ZIB):

Martin Grötschel

nach Absprache

Raum: 3025

84185-210

groetschelBeschreibung: C:\Users\groetsch\Desktop\klammeraffe.gifzib.de

Büro am Zuse-Institut (ZIB):

Axel Werner

nach Absprache

Raum: 3102

84185-356

wernerzib.de


Literatur 


Zusatzinformationen  

Die Vorlesung wird mit 10 Leistungspunkten bewertet (nach ECTS), siehe Modulbeschreibung.
Am Ende des Semesters sind mündliche Prüfungen zu ADM III möglich. Die genauen Prüfungstermine werden später bekanntgegeben.
Zur Vertiefung und Anwendung des erworbenen Wissens wurde eine Programmieraufgabe gestellt (siehe Downloads vom 14.11.2013/ohne Bewertung).

Valid HTML 4.0! Zuletzt aktualisiert: 13. Februar 2014