Grundsätzliche Informtionen

Checklisten

Übungszettel (vorläufige Planung)

Bemerkungen/Korrekturen zu den Vorlesungen

Zur Vorlesung über Arithmetisierung der Geometrie: Die Geschichte des Vektorraums beginnt mit der Arithmetisierung der zweidimensionalen Geometrie durch komplexe Zahlen, die es erlaubten, Punkte in der Ebene als algebraische Objekte zu behandeln. Diese Idee wurde im 19. Jahrhundert durch die Entwicklung der Quaternionen von William Rowan Hamilton erweitert, die eine vierdimensionale Struktur mit nicht-kommutativer Multiplikation einführten und damit auch Drehungen im Raum modellierbar machten. Parallel dazu entwickelte Hermann Günther Grassmann in den 1840er Jahren eine noch grundlegendere Theorie: In seinem Werk "Die lineale Ausdehnungslehre" formulierte er erstmals das Konzept eines allgemeinen Vektorraums, unabhängig von Dimension und konkreter Geometrie. Grassmanns abstrakter Zugang zur Addition und Skalierung von "Ausdehnungsgrößen" legte den Grundstein für die moderne lineare Algebra und beeinflusste spätere Entwicklungen in Mathematik und Physik maßgeblich.

Andere algebraische Strukturen: Ausgehend von der Arithmetisierung der Geometrie durch komplexe Zahlen im 18. Jahrhundert und der Erweiterung auf Quaternionen durch William Rowan Hamilton im Jahr 1843, entwickelte sich im 19. Jahrhundert ein tiefgreifender Wandel in der Algebra. Hermann Günther Grassmann legte mit seiner Ausdehnungslehre (1844) den Grundstein für das Konzept des Vektorraums, indem er algebraische Operationen auf geometrische Größen verallgemeinerte. Diese Abstraktion ebnete den Weg für weitere Strukturen: Der Modul, eingeführt im Kontext der kommutativen Algebra, verallgemeinert den Vektorraum auf Skalare aus Ringen statt Körpern. Ideale, entwickelt von Kummer und Dedekind zur Rettung der eindeutigen Primfaktorzerlegung in Zahlringen, wurden zu zentralen Objekten in der Ringtheorie. Schließlich entstand die Algebra als Struktur, die Vektorraum und Multiplikation vereint, etwa in Lie-Algebren oder Gruppenalgebren. Der Begriff der Dimension wandelte sich dabei von der Anzahl linear unabhängiger Vektoren zu einem vielschichtigen Konzept, das in Modulen oft nicht eindeutig ist und in der kommutativen Algebra als Krull-Dimension die Tiefe der Idealstruktur eines Rings beschreibt.

Zum "Diagonalisieren-Video: Hier wird eine Korrektur eines verlinkten Videos notwendig. In den Zusatzmaterialien habe ich ein Video verlinkt, das zeigt, wie Matrizen diagonalisiert werden. Das methodische Vorgehen ist korrekt (auch wenn ich persönlich den Bild-Kern-Algorithmus bevorzugen würde). Was allerdings nicht korrekt ist, ist die Aussage über die Diagonalisierbarkeit einer Matrix. Zwar stimmt die Aussage, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn sie nur algebraisch einfache Eigenwerte hat. Aber die Umkehrung gilt nicht: Eine Matrix kann durchaus diagonalisierbar sein, auch wenn sie Eigenwerte mit höherer algebraischer Vielfachheit hat. Solche Beispiele haben wir in der Vorlesung und auf dem Übungszettel. Korrekt ist: Eine Matrix ist dann und auch nur dann diagonalisierbar, wenn die algebraische Vielfachheit jedes Eigenwertes jeweils mit dessen geometrischer Vielfachheit übereinstimmt. Dabei muss man bei reellen Matrizen auch ggf. komplexe Eigenwerte zulassen, damit das charakteristische Polynom einer (n x n)-dimensionalen Matrix auch in n Linearfaktoren zerfällt.

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