Klausur

Vielen Dank für die Einreichungen der Aufgabe 9! Ich habe alle eMail-Eingänge, die mich erreicht haben, mit einer Rückmail bestätigt. Bitte denken Sie jetzt daran, die Klausur noch heute auf dem "nicht-elektronischen" Postweg an mich zu senden mit der Möglichkeit der Sendungsverfolgung.

Grundsätzliche Informtionen

Internetseite im VV: Vorlesung, Übung (bitte für beide anmelden!)
Vorlesungstermine (2 SWS): Dienstag 8:15 - 9:45.
Übungstermine (2 SWS): Bitte in Absprache mit der Leitung der Gruppen
Volesungszeitraum:02.11.2020-27.02.2021
Abschlussprüfung: eine Klausur am Ende des Semesters, Termine siehe Tabelle unten
Weitere Scheinvoraussetzung: Aktive und regelmäßge Teilnahme an den Übungen

Übungszettel (vorläufige Planung)

Informationen zum Rückgabezeitpunkt der Lösungen der Zettel werden in den Übungsgruppen besprochen! Lesen Sie bitte auch durch, was der Klausurstoff in diesem Semester sein wird. In jeder Woche lernen Sie bitte den Stoff, der als "Lernziel" auf den Übungszetteln geschrieben steht. Das "Material" gibt Ihnen mögliche Hinweise/Einstiegspunkte im Netz an, wo die entsprechenden Themen behandelt werden. In der Spalte "Zusatzinfos" werden Themenfelder verlinkt, die teilweise über die Vorlesung hinausgehen oder einen Hinweis über die Anwendung der gelernten Mathematik angeben. Unter der Tabelle befinden sich noch Kommentare/Berichtigungen zu den Vorlesungen und es wird eine Einordnung des Stoffes in ein "größeres Ganzes" versucht. Die Spalte "Schulmathematik" in der Tabelle gibt an, welche Themen Sie schon in der Schule in Mathe umfassend behandelt haben sollten. Sollten Ihnen hier diese Fähigkeiten fehlen, dann melden Sie sich zu den entsprechenden Zusatztutorien in (Schul-)Mathematik an, die von Prof. Bettina Keller angeboten werden (3 Abendveranstaltungen pro Woche, d.h pro Thema).

TerminThemaZettelSchulmathematik*Material*Lösungshinweise
Tutorium**
Zusatzinfos*
03.11.20 Wiederholung komplexer Zahlen
Vektorraum
Nr. 1Bruchrechnung
... mit alg. Termen
Klammerrechnung
Gruppe, Körper
Vektorraum
Bsp. Vektorraum
Komplexe Zahlen
Quaternion
Tutorium
Aufg.1+2 ***
LINK
(i heißt hier j)
4D-Rotationen
Additionen/Multiplikationen
10.11.20 Vektorrechnung, Analytische GeometrieNr. 2Analytische GeometrieSkalarprodukt
Kreuzprodukt
Spatprodukt
Tafelbild
Tutorium
LINK
Cavalieri's Principle
NFEPP
17.11.20 Matrizenrechnung
Vorabaufgabe
Nr. 3Fixpunkt finden
Anfang Vorl.
Affine Abbildung
Sofatutor
evtl. nicht Schulstoff
Rechenregeln
Matrixmultiplikation
M-Eigenschaften
Tutorium
LINK
Quaternion Quantum Mechanics
Quantencomputer
24.11.20 Lineare Gleichungssysteme
Vorabaufgabe
Nr. 4LGS-Aufgaben
Reaktionsgl.
Bild-Kern-Algorithmus
... auf YouTube
Beispiel
LGS-Theorie
LINKGauss-Algorithmus
Ausgleichsrechnung
Anwendung
01.12.20 Lineare Abbildungen
Vorabaufgabe
Nr. 5Physik, 12. KlasseIntegrale, Ableitung
Beispiel
Projektionsmatrix
Gram-Schmidt
MATLAB-Code
1 2 3a 3b
LINK
Lineare Abbildungen
Die Katze
Boris Galerkin
Ingrid Daubechies
08.12.20 Determinanten
Vorabaufgabe
Nr. 6Beispiel
Determinante
in der Kürze...
Inverse Matrix
Octave-Code
Tutorium
LINK
Cramersche Regel
Slater-Determinante
15.12.20 Eigenwerte, -vektoren
Vorabaufgabe
Nr. 7Meine Handzettel
Eigenwerte/vektoren
für Aufgabe 3
für Aufgabe 3
für Aufgabe 4
MATLAB-Code
Tutorium
LINK
Diagonalisieren
Distanzgeometrie
Hückel-Näherung

Altklausuren!

LnkBsp.-Lösung
05.01.21 Gradient- und Hessematrix
Vorabaufgabe
Bilder
Nr. 8Gradient
Hesse-Matrix
cos(x)+(x+π)*y
Höhenlinien
LINKQuasi-Newton-Verfahren
12.01.21 Normalschwingungen
vorab: ersten 30 sec. Video
mehrmals schauen
Nr. 9Aufgabe 1 (bis 08:15)
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Meine Handzettel
LINKNormalschwingungen
(= normal modes)
Schwingungsformen
Spektren ausrechnen
19.01.21 Mehrdimensionale Integrale
Vorabaufgabe
Nr. 10Satz von Fubini
Bereichsintegrale
7 Arten von Integralen
Zufallszahlen
Aufgabe 4
MATLAB-Code
Excel-Code
LINK
AG Weinhart
Aufg. 4: Histogramm für sin(x)
26.01.21 Koordinatentransformationen
Vorabaufgabe
Nr. 11Polarkoordinaten
Kugelkoordinaten
Oberflächenintegral
Parametrisieren
Tutorium
LINK
Born-Interpretation
02.02.21 Fourier-Transformation
vorab: Wie funktioniert "Orbitrap"?
Nr. 12Exakte Diff.Gl.
Integr. Faktoren
Trennung d. Variab.
Fourier-Transformation
Tutorium
LINK
Bsp.: Fourier-Transformation
Orbitrap
Explanation 1
Explanation 2
09.02.21 partielle DifferentialgleichungenNr. 13für Klausur:
Fourier-Transfo.
und ONS
Meine Handzettel
Wärmeleitungsgleichung
Wellengleichung
Poisson-Gleichung
LINKWhat is a PDE?
Anwend. d. Poisson-Gleichung
16.02.21Fragestunde zur Klausur
Bitte hier fragen
(Passwort erfragen)
Klausurstoff
Briefkasten
22.02.21Erster Klausurtermin (10-13 Uhr)
Prozedere
Erklärung
Briefkasten
alte Klausuraufgaben
16.03.21Fragestunde zur Klausur
(8:15-9:45 Uhr)
Aufgabe 8
22.03.21Zweiter Klausurtermin (10-13 Uhr)
Prozedere
Erklärung
WebEx (beendet)
Klausuraufgaben
* Die Links in dieser Spalte verweisen oft auf Seiten anderer Anbieter.
** Die Zusammenfassungen der Tutorien werden von Marco Kapitzke erstellt und von mir hier hochgeladen
*** Die Lösungen stammen von der Übungsgruppenleiterin Larissa Sophie Eitelhuber.

Bemerkungen/Korrekturen zu den Vorlesungen

Zur ersten Vorlesung am 3.11.: Ich bin in der Vorlesung gefragt worden, ob man durch Vektoren dividieren kann, was ich verneint hatte. Der Grund: In der Definition des Vektorraumes ist nicht die Existenz inverser Elemente bezüglich der Multiplilation gefordert. Allerdings gibt es in der Originalliteraur von Hermann Günther Graßmann tatsächlich ein ganzes Kapitel über die Division von Vektoren... aber nicht in in den eigentlichen Vektorräumen, in denen die Multiplikation nur mit Skalaren definiert ist, sondern als "Inverses" äußerer Produkte (ab Seite 90, Paragraph 60, LINK).
Im Jahr 2011 wurde der Nobelpreis in Chemie für die Entdeckung der Quasikristalle vergeben LINK. Normalerweise nehme ich die erste Vorlesung zum Anlass, auch über die Verbindung von Quasikristallen und Quaternionen zu sprechen. Hier ein Beispiel für einen mathematischen Artikel zu diesem Zusammenhang. Jetzt gibt es aber viel "schönere" Videos im Netz, die man sich anschauen kann, um etwas über die Natur von Quasikristallen zu lernen LINK.

Zur Vorlesung am 10.11.: Im Jahr 2012 hat meine Arbeitsgruppe an der Erfindung eines Schmerzmittelmoleküls (NFEPP) mitgewirkt, das ohne die schädlichen Nebenwirkungen der bisher verfügbaren Opioide sein sollte. Unser Opioid haben wir mit Methoden der Molekülsimulation gefunden LINK. Zur Berechnung der Kräfte während der Simulation haben wir natürlich Skalarprodukte von Vektoren verwendet...

Zur Vorlesung am 17.11.: Hier gibt es eine Korrektur. In der Zusammenfassung (Tutorium) zu dieser Vorlesung ist auf Seite 5 ganz unten ein illustratives Beispiel gezeigt. Die beiden Matrizen sind für dieses Beispiel nicht richtig gewählt, und auch ihr Produkt ist falsch ausgerechnet worden. Es ergibt sich eine Null-Matrix, wenn man wählt: (1;0 0;0)*(0;0 0;1).

Zur Vorlesung am 24.11.: In der Vorlesung wurde gefragt, ob man zur Lösung eines linearen Gleichungssystems auch das Gauß-Eliminantionsverfahren verwenden darf. Daraufhin habe ich gesagt, dass man zwar das Eliminationsverfahren verwenden darf, aber dass der Bild-Kern-Algorithmus viele Vorteile mitbringt, die für die folgenden Vorlesungen sehr wichtig werden (das Verfahren taucht jetzt häufiger auf). Zudem hatte ich angedeutet, dass in der Angewandten Mathematik (fast alle) Probleme über Fixpunktiterationen gelöst werden. Auch Gauß erkannte bereits, dass das Eliminationsverfahren (rundungs-)fehleranfällig ist. So verwendete er zum Lösen von linearen Gleichungssystemen zudem eine Fixpunktiteration, das Gauß-Seidel-Verfahren. Iterationsverfahren finden seit der Antike (Babylonisches Wurzelziehen) bis in die heutige Zeit Anwendung.

Zur Vorlesung am 08.12.: Leider ist mir am Ende der Vorlesung bei der Determinante von orthogonalen Matrizen dann doch noch ein Fehler unterlaufen. Wenn A' die Transponierte von A darstellt, so gilt bei orthogonalen Matrizen: 1=det(I)=det(A'A)=det(A')*det(A)=det(A)^2. Das bedeutet aber, dass die Determinante einer orthogonalen Matrix entweder 1 oder -1 ist, je nachdem, ob die orthogonale Matrix (also die winkel- und längentreue Abbildung) orientrierungstreu oder orientierungsumkehrend ist.

Zur Vorlesung am 15.12.: Hier wird eine Korrektur eines verlinkten Videos notwendig. In den Zusatzmaterialien habe ich ein Video verlinkt, das zeigt, wie Matrizen diagonalisiert werden. Das methodische Vorgehen ist korrekt (auch wenn ich persönlich den Bild-Kern-Algorithmus bevorzugen würde). Was allerdings nicht korrekt ist, ist die Aussage über die Diagonalisierbarkeit einer Matrix. Zwar stimmt die Aussage, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn sie nur algebraisch einfache Eigenwerte hat. Aber die Umkehrung gilt nicht: Eine Matrix kann durchaus diagonalisierbar sein, auch wenn sie Eigenwerte mit höherer algebraischer Vielfachheit hat. Solche Beispiele hatten wir ja in der Vorlesung und auf dem Übungszettel. Korrekt ist: Eine Matrix ist dann und auch nur dann diagonalisierbar, wenn die algebraische Vielfachheit jedes Eigenwertes jeweils mit dessen geometrischer Vielfachheit übereinstimmt. Dabei muss man bei reellen Matrizen auch ggf. komplexe Eigenwerte zulassen, damit das charakteristische Polynom einer (n x n)-dimensionalen Matrix auch in n Linearfaktoren zerfällt.

Zur Vorlesung am 5.1.: Für die Klausur ist es wichtig, dass Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix einer Funktion bilden können und dass Sie kritische Punkte finden können (Nullstellen des Gradienten - ein nicht-lineares Gleichungssystem lösen). Und Sie sollen anhand der Eigenwerte der Hesse-Matrix (für jeden Punkt eine andere Matrix) bestimmen können, welche Art von kritischem Punkt vorliegt (und auch die Sattelpunktordnung bestimmen können). In der Vorlesung habe ich darüber hinaus erklärt, wie man Minima eines restringierten Optimierungsproblems (Minimierung einer Funktion unter Nebenbedingungen) finden kann. Das ist nicht Teil der Klausur. Hier habe ich mal exemplarisch dargestellt, wie man solche Minima findet: Als Kandidaten für die lokalen Minima kommen die Sattelpunkte erster Ordnung der Lagrange-Funktion infrage. Man bildet also die Lagrange-Funktion, deren Gradient und Hessematrix. Dann sucht man nach kritischen Punkten (Nullstellen des Gradienten) und prüft anhand der Eigenwerte der Hesse-Matrix, ob es sich tatsächlich um einen Sattelpunkt erster Ordnung handelt (alle Eigenwerte positiv, bis auf einen). Zum Lösen des Gleichungssystems und zur Berechnung der Eigenwerte benutzt man in der Praxis den Computer.

Zur Vorlesung am 12.1.: Auf Anfrage habe ich folgende Antwort in einer Mail geschrieben: "Ja, nur diese Aufgabe [die erste Aufgabe auf Zettel Nr. 9] ist für die Klausur relevant. Die anderen beiden Aufgaben dienen jedoch dazu, das Verständnis dafür zu erzeugen,
2) dass wirklich die sin/cos-Funktionen die Lösungen der DGL zweiter Ordnung sind und
3) dass man zur Berechung der Normalschwingungen von Molekülen (im späteren Studium) einfach die negative Hesse-Matrix als B-Matrix rechnen muss."
Ich muss noch anmerken, dass die Hesse-Matrix in einem Minimum ausschließlich positive Eigenwerte hat (ich glaube, das hatte ich in der Vorlesung falsch gesagt) und dass man für die Ermittlung der Normalschwingungen die Eigenwertberechung für die negative Hesse-Matrix einer Energiefunktion macht (d.h. die hat dann alles negative Eigenwerte). In diesem Dokument der TU Dortmund kann man das Ganze aus physikalischer Sicht genauer nachlesen. Dieser Kommentar führte zu einem Missverständnis: Differentialgleichungen zweiter Ordnung können durchaus in der Klausur vorkommen!

Zur Vorlesung am 26.2.: Sie finden das Vorgehen bei der Koordinatentransformation auch hier, mit Beispielen.

Zur Vorlesung am 2.2.: Erinnern Sie sich daran, wie Sie (evtl) auf der Schule gelernt haben, was ein Integral ist. Sie werden dabei die Integralfläche durch Rechtecke approximiert haben, durch sogenannte "Ober-" und "Untersummen". Sie haben dabei den Ausdruck "dx" in dem Integral, der eigentlich eine infinitesimale Zahl ist, in eine kleine (und immer kleiner werdende) reelle Zahl umgewandelt. Das wurde dann sogar zur Definition benutzt, was ein Integral eigentlich sein soll: Es soll der Grenzwert dieses Prozesses sein. Es war Bernhard Riemann, der in seiner Habilitationsschrift LINK 1854 diese Idee entwickelte (knapp 200 Jahre nach Leibniz). Genau genommen entwickelte er diese Idee zu einem bestimmten Zweck: Er wollte die Fourier-Transformation (die Fourierreihe hieß damals "trigonomentrische Reihe") von Funktionen erklären und berechnen, für deren Integralausdrücke er keine Stammfunktionen angeben konnte. So hieß die Habilitationsschrift, in der das Integral als Grenzwert definiert wird, auch: "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe". Das entsprechende Kapitel lautet: "Untersuchung der Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe ohne besondere Voraussetzungen über die Natur der Function". Gauß (in Göttingen) war sein Supervisor bei dieser Arbeit. Dass knapp einhundert Jahre später die Mathe-Hochburg Göttingen aufgrund des "Rassenwahns" der Nationalsozialisten zerschlagen wurde, hatte ich Ihnen ja schon im Zusammenhang mit Courant und Fischer erzählt.

Literatur

Ich würde Ihnen vorschlagen, sich auf ein einzelnes Buch zu konzentrieren. Eigentlich eigenen sich zum Selbstudium eine Reihe von möglichen Büchern, die alle sehr ähnliche Themen bearbeiten. Ein Beispiel hierfür ist
H.G. Zachmann, A. Jüngel: Mathematik für Chemiker, WILEY-VCH, 6. Aulage, 2007.
Für die praktische Anwendung der Mathematik in Ihrem Naturwissenschaften-Alltag eignen sich vor allem Nachschlagewerke. Ein Beispiel:
H. Stöcker: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren, Verlag Harri Deutsch, 4. Aulage, 2003.
Schließlich gibt es auch noch Bücher, die sich für etwas erfahrenere Studierende eignen und sehr nützliche Rechenwege/methoden (die Werkzeuge) vermitteln. Besonders schön finde ich:
P. Furlan: Das gelbe Rechenbuch, Band 1-3, Verlag Martina Furlan.
In der Vorlesung werde ich mich aus den angegebenen Büchern "bedienen".

Kontakt

Übungsgruppenleitung:
Larissa Sophie Eitelhuber: Mail (neu)
Yiran Zhang: Mail

Dozent:
PD Dr. Marcus Weber
Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik (ZIB)
Raum 4023, Rundbau, 2. Etage Takustraße 7
14195 Berlin

Tel.: +49-(0)30-84185-189
eMail: weber at zib de

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